＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为( B )
A. B. C. D.
7设直线 过点P（0，3），和椭圆 顺次交于A、B两点，若 则的取值范围为______
8已知点 ，动点 满足 ，则动点P的轨迹方程是_ _____
9椭圆E的中心在原点O，焦点在 轴上，其离心率 ,过点C（－1,0）的直线 与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C满足
平面向量与圆锥曲线的综合问题
例1已知F1、F2分别是椭圆 的左、右焦点.
（Ⅰ）若P是第一象限内该数轴上的一点， ，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线 的斜率 的取值范围.
解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 最小值为 ．
同步练习
1设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点，若 ，则 （B）A．9B．6C．4D．3
2设 分别是双曲线 的左、右焦点．若点 在双曲线上，且 ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ （B）A B． C． D．
3已知 是椭圆的两个焦点．满足 · ＝0的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）A．(0，1) B．(0， ]C．(0， )D．[ ，1)
由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点得：
而S△OAB ⑤
由①③得:x2+1=－ ，代入⑤得：S△OAB=
（2）因S△OAB= ,
当且仅当 S△OAB取得最大值
此时x1+x2=－1,又∵ =－1∴x1=1,x2=－2
将x1,x2及k2= 代入④得3b2= 5∴椭圆方程x2+ 3y2= 5
．则 的最大值为 ，最小值为 ．
例3已知 ，直线 ， 为平面上的动点，过点 作 的垂线，垂足为点 ，且 ．（Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程；（Ⅱ）过点 的直线交轨迹 于 两点，交直线 于点 ．（1）已知 ， ，求 的值；（2）求 的最小值．
解法一：（Ⅰ）设点 ，则 ，由 得：
，化简得 ．
（Ⅱ）（1）设直线 的方程为：
4已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|=2c，点A在椭圆上， =0 ，则椭圆的离心率e=（）
A． B． C． D．
5P是抛物线 上的动点，点A（0,-1），点M满足 ，则点M的轨迹方程是（A )
A） （B） （C） （D）
6.已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足
直线 与椭圆有两个不同的交点 和 等价于 ，
解得 或 ．即 的取值范围为 ．
（Ⅱ）设 ，则 ，
由方程①， ． ②
又 ． ③
而 ．
所以 与 共线等价于 ，
将②③代入上式，解得 ．
由（Ⅰ）知 或 ，故没有符合题意的常数 ．
．设 ， ，又 ，
联立方程组 ，消去 得： ， ，
由， 得：
整理得：
解法二：（Ⅰ）由 得： ，
所以点 的轨迹 是抛物线，由题意，轨迹 的方程为： ．
（Ⅱ）（1）由已知 ， ，得 ．
则： ．…………①过点 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ， ，
则有： ．…………②由①②得： ，即 ．
（Ⅱ）（2）解：由解法一，
（1）用直线 的斜率k( k≠0 )表示△OAB的面积；（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。
解：（1）设椭圆E的方程为 (a＞b＞0 )，由e=
∴a2=3b2故椭圆方程x2+ 3y2= 3b2
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分向量 的比为2，
∴ 即
由 消去y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0
（Ⅰ）易知 ， ， ．
∴ ， ．设 ．则
，又 ，
联立 ，解得 ， ．
（Ⅱ）显然 不满足题设条件．可设 的方程为 ，设 ， ．
联立
∴ ， 由
， ，得 ．①又 为锐角 ，∴
又
∴
∴ ．②
综①②可知 ，∴ 的取值范围是
例2已知正三角形 的三个顶点都在抛物线 上，其中 为坐标原点，设圆 是 的内接圆（点 为圆心）
10在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 ．（I）求 的取值范围；II）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ，是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）由已知条件，直线 的方程为 ，
代入椭圆方程得 ．
整理得 ①
（I）求圆 的方程；
（II）设圆 的方程为 ，过圆 上任意一点 分别作圆 的两条切线 ，切点为 ，求 的最大值和最小值．
本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．
（I）解法一：设 两点坐标分别为 ， ，由题设知
．
解得 ，所以 ， 或 ， ．
设圆心 的坐标为 ，则 ，所以圆 的方程为
解法二：设 两点坐标分别为 ， ，由题设知
．又因为 ， ，可得 ．即
．由 ， ，可知 ，故 两点关于 轴对称，所以圆心 在 轴上．设 点的坐标为 ，则 点坐标为 ，于是有 ，解得 ，所以圆 的方程为 ．
（II）解：设 ，则 ．
在 中， ，由圆的几何性质得
， ，所以 ，由此可得