【初中数学】初中数学知识点：重心
重心定义：
物体的重心与物体的形状有关，规则图形的重心就是它的几何中心。

如：线段，平行四边形，三角形，正多边形等等。

其它图形重心：
注：下面的几何体都是均匀的，线段指细棒，平面图形指薄板。

三角形的重心就是三边中线的交点。

线段的重心就是线段的中点。

平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边中点连线的交点。

平行六面体的重心就是其四条对角线的交点，也是六对对棱中点连线的交点，也是四对对面重心连线的交点。

圆的重心就是圆心，球的重心就是球心。

锥体的重心是顶点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个。

四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点，也是每条棱与对棱中点确定平面的交点。

正多边形的重心是其对称轴的交点。

由物理方法，我们可以找出任意四边形的重心。

三角形重心：
重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理证明。

三角形重心性质：
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为
((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
空间直角坐标系??横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：
（Z1+Z2+Z3）/3。

5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

6.(莱布尼兹公式)三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则
3PG
2
=(AP
2
+BP
2
+CP
2
)-1/3(AB
2
+BC
2
+CA
2
)。

7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则
AB/AP+AC/AQ=3。

8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB
2
+BC
2
+CA
2
)为半径的圆周上。

三角形“五心歌”
三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混。

重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧；
交点命名为“重心”，重心性质要明了；
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好。

垂心
三角形上作三高，三高必于垂心交；
高线分割三角形，出现直角三对整；
直角三角形有十二，构成六对相似形；
四点共圆图中有，细心分析可找清。

内心
三角对应三顶点，角角都有平分线；
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆；
此圆圆心称“内心”如此定义理当然。

外心
三角形有六元素，三个内角有三边；
作三边的中垂线，三线相交共一点；
此点定义为“外心”，用它可作外接圆；
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键。

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