武汉大学计算方法历年期末考试试题大全(含完整版答案)及重点内容集锦武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷《计算方法》（A卷）（36学时用）学院：学号：姓名：得分：一、（10分）已知的三个值（1）求二次拉格朗日插值L2(x)；（2）写出余项R2(x)。
二、（10分）给定求积公式求出其代数精度，并问是否是Gauss型公式。
三、（10分）若矩阵，说明对任意实数，方程组都是非病态的（范数用）。
四、（12分）已知方程在[0,0.4]内有唯一根。
迭代格式A：；迭代格式B：试分析这两个迭代格式的收敛性。
五、（12分）设方程组，其中，分别写出Jacob及Gauss-Seidel迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。
六、（12分）已知的一组值2.21.0 分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算七、（12分）20XX年5月左右，北美爆发甲型H1N1流感，美国疾病控制和预防中心发布的美国感染者人数见下表。
为使计算简单，分别用x=-1，0，1，2代表20XX年5月2，3，4，5日。
根据上面数据，求一条形如的最小二乘拟合曲线。
八、（12分）用改进欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程：（取步长）1]。
九、（10分）对于给定的常数c，为进行开方运算，需要求方程的根。
（1）写出解此方程的牛顿迭代格式；（2）证明对任意初值牛顿迭代序列{xn}单调减且收敛于c.武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷1、解：（1）二次拉格朗日插值为（2）余项为2、解：当时，左边=2,右边=2；当时，左边=0,右边=0；当时，左边=223,右边=3；当时，左边=0,右边=0；当时，左边=25,右边=29,左边右边；于是，其代数精度为3，是高斯型求积公式。
3、解：而，于是，所以题干中结论成立。
4、解：（1）对于迭代格式A：，其迭代函数为，在[0,，所以发散。
（2）对于迭代格式B：x1，其迭代函数为10e，在，所以收敛。
22 0.4]内5、解：（1）Jocobi迭代法：0b/2因为a21/a22a21a12a11a22（2）Gauss-Seidel迭代法：a12/a11a21a12/a11a22a12/a1101/a22a21a12a11a22| 01/a22(k)因为a21a12a11a22a21a12a11a22综上分析可知两种迭代法同时收敛同时发散。
6、解：（1）复化梯形公式（）2.21.0h20.22（2）复化辛普森公式（）2.21.0h660.47、解：依题意，可知、解：459、解：（1）牛顿迭代格式（2）因为时，，，所以取任意c作为初始值，迭代序列必收敛到c，故迭代公式是收敛的。
武汉大学2009--2010学年第二学期考试试卷《计算方法》（A卷）（36学时用）学院：学号：姓名：得分：0一、（10分）设，求范数、谱半径、条件数二、（10分）已知的一组值：分别求二次拉格朗日插值多项式及牛顿插值多项式。
三、（10分）已知数据求形如的最小二乘拟合曲线。
四、（15分）已知的三个根分别位于区间，[3.5,4]内。
（1）分别讨论迭代格式求这三个根时的收敛性。
（2）写出求[3.5,4]内根的牛顿迭代格式，并说明如何选取初值x0，使牛顿迭代收敛于[3.5,4]内的根。
五、（10分）用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程组A，其中六、（15分）设方程组a1a（1）分别写出雅可比迭代格式及高斯-赛德尔迭代格式；（2）问常数 a 取何值时，雅可比迭代格式收敛。
七、（10分）已知的一组值2.21.0f(x)dx分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算八、（10分）用改进欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长）：1] （取5位有效数字计算）九、（10分）在abnif(xi) 为插值型求积公式。
（1）导出系数Ai 的公式；（2）证明此求积公式的代数精度大于等于n, 且不超过计算方法2010春A卷参考答案(2010-5-29)一、，二、三、，，，x四、（1）。
在区间[0，1]上，，所以求[0, 1]4]上，，迭代发散。
而在[-1, 0] 上，对任意x0，迭代得到的xn均为正值,所以迭代发散。
（2）设五、4,，在[3.5，4]内，，取，直接取，解得，解得六、，G-S迭代类似(略)。
Jacobi迭代阵为，特征值为，谱半径，所以七、复化梯形复化辛卜生八、h3h222九、系数ba。
li(x)dx（见教材P157）代数精度见P159, P184武汉大学2010-2011学年第二学期考试试卷《计算方法》（A卷）（36学时用）学院：学号：姓名：得分：1、（12分）已知方程有一个正根及一个负根。
（1）估计出含根的区间；（2）分别讨论用迭代格式求这两个根时的收敛性；n（3）如果上述格式不迭代，请写出一个你认为收敛的迭代格式（不证明）。
2、（12分）用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程组，其中，3、（14分）设常数，方程组（1）分别写出Jacobi迭代格式以及高斯-赛德尔迭代格式；（2）试求a的取值范围，使得Jacobi迭代格式是收敛的。
4（12分）已知3次多项式的三个值：（1）求二次拉格朗日插值L2(x)及余项；（2）能否计算出的准确值？并说明理由。
如果能够，请计算出结13果。
5、（12分）已知数据根据上面数据，求一条形如6、（12分）已知的一组值：2.61.0的最小二乘拟合曲线。
分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算f(x)dx。
7、（12分）用改进的欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程（取步长）：1]8、（14分）设f(x)在[a,b]上二阶可导连续，将[a,b]2n等分，分点为，步长为（1）证明求积公式h3‘‘的截断误差为3b利用（1）中的求积公式及误差理论，导出求积分的复化求积公式及其a误差。
武汉大学2010-2011学年第二学期考试试卷1、解：（1）【4分】设，，含正根的区间为(1,2)；，含负根的区间为；（2）【4分】迭代函数为，则在含正根区间(1,2)上，，迭代格式发散；【2分】在含负根区间上，，迭代格式收敛。
【2分】（3）【4分】在含正根区间(1,2)上，收敛的迭代格式为。
2、解：（1）【8分】先对A进行Dollittle分解。
所以1。
（2）【2分】（3）【2分】1103、解：（1）【4分】Jacobi迭代法：10201/a002/a2/a【4分】Gauss-Seidel迭代法：1/a321/a3/a23/a23（1）【6分】考虑Jacobi迭代法的收敛性，即判断其谱半径是否小于1.1/a3/a或2/aa)ai所以谱半径为2。
|a|该迭代法收敛的充分必要条件为2|a|，亦即或。
4、解：【4分】52192【4分】（3）【4分】33133131R2(x)dx因为，所以11313131(522192135、解：依题意，可知【4分】12【4分】234 31234 31【4分】拟合曲线为26、解：(1)【6分】复化梯形公式（）1.60h2（2）【6分】复化辛普森公式（）1.600.47、解：（1）【8分】先写出预估-校正格式：（2）【4分】h20.52h20.528、证明：（1）【7分】该求积公式实际上是中矩形公式。
在区间中，f(x)的Taylor 展开式为‘‘‘2两边同时在区间上积分，并利用积分第二中值定理，可得‘‘‘‘‘‘‘2h（2）【7分】复化求积公式为bannn误差为bannnh3‘‘h23f(‘‘武汉大学计算方法历年期末考试重点六、（15分）分别写出求解下列方程组的雅可比、高斯-赛德尔以及超松弛迭代格式，并说明是否收敛。
九、（10分）设f(x)在[a,b]上导数连续。
将[a,b]n等分，分点为，步长122（1）证明右矩形公式ba的误差为（2）写出求的复化右矩形公式。
（3）导出复化右矩形公式的误差。
三、（10分）已知数据23设，求常数a ,b, 使得四、（15分）设方程(1)估计含根区间;(2)分析迭代格式.的收敛性;(3)写出解此方程的牛顿迭代格式,并问x0取何值时,迭代收敛.九、（10分）设求积公式bnakf(xk)为高斯型求积公式，（1）问给定的求积公式的代数精度是多少次？（2）证明: 对任意次数小于等于的多项式q(x)，必有；ab（3）证明：五、（10分）设常数，分别写出求解方程组的Jacobi迭代格式及Gauss-Seidel迭代格式并给出用Gauss-Seidel迭代格式求解此方程组时，对任意初值都收敛的充分必要条件。
十、（10分）证明求积公式bbnakf(xk)的代数精度大于等于n的充分必要条件是a。
其中，lk(x)是以为插值节点的拉格朗日插值基多项式。
七、（10分）已知数据设62，求常数a,b,使得5、（12分）已知数据求形如8、（12分）设，求积公式abn2x6的拟合曲线。
if(xi) ………………………… （*）为插值型求积公式,(1) 推导出系数Ai 的公式;(2) 证明公式(*)的代数精度(3) 证明公式(*)的代数精度不可能大于六、高斯-赛德尔类似，略。
松弛法：因为A对角严格占优，所以Jacob及G-S收敛。
又因为A正定，所以松弛法收敛。
九、（1）(3) 余项R=-21三、，，，四、（1）含根区间[0，1]（2），，所以收敛（3）设，在[0，1] bn（3）取，代入公式得2，所以-S: aa 五、G-S迭代阵为，迭代收敛十、必要性：因为代数精度，取代入公式，应精确成立，得到充分性：如果积分，故求积余项为，则求积公式右端为f(x)的拉格朗日插值的，n当取时，f所以代数精度七、（10分），故、=0.36, b=-32/89。