自测题一（时间120分钟）1、 已知方程 02=+-xe x 有一个正根及一个负根，（1） 估计出含根的区间； （2） 分别讨论用迭代格式 21-=+nx n ex 求这两个根时的收敛性；（3） 如果上述迭代不收敛，请写出一个你认为收敛的迭代格式。

2、 用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程 b Ax =，并利用A 的分解式求行列式A .其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=976034112A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=34156b3、 设常数0a ¹，方程组1231331213225a x a a x a a x a 骣骣骣-鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 =+珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 鼢 珑 --桫桫桫（1） 分别写出Jacobi 迭代格式及 Gauss-Seidel 迭代格式；（2） 试求a 的取值范围，使得Jacobi 迭代格式是收敛的。

4、 设 32()y f x ax bx cx d ==+++（系数,,,a b c d 是未知常数，且0a ≠）。

已知()f x 的一组值：（1）求二次拉格朗日插值多项式及余项。

（2）问能否计算出31()f x dx ò的准确数值？并说明理由。

如果能够，请计算出结果。

5、已知数据求形如 6sin2b ax y += 的拟合曲线。

6、 给定)(x f y =的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算⎰6.20.1)(dx x f7、用改进的欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长5.0=h ）：⎪⎩⎪⎨⎧==1)0(y xydx dy]1,0[∈x（取4位有效数字计算）8、设)(x f 在],[b a 上二阶导数连续。

将],[b a 2n 等分，分点为012n a x x x b =<<<=L ，步长2b ah n-=（1）证明求积公式22221()2()k k x k x f x dx hf x --»ò的截断误差为3222()[,]3k k k k k h R f x x x x -ⅱ= ，1,2,,k n =L（2）利用（1）中的求积公式及误差结论，导出求积分⎰badx x f )(的复化求积公式及其误差。

自测题二（120分钟）一、填空1、 为计算积分 0sin (1,2,,49)n n I x xdx n π==⎰,设计了算法：21(1)(1,,49)2 5.14159n n n I n n I n I ππ-=--⎧=⎨=+≈⎩，设1I 的绝对误差为ε，则49I 的绝对误差为 ，该算法是否数值稳定？ 。

2、设132)(38-+=x x x f ，则差商=]1,0[f ，=]8,,1,0[ f3、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=12x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2513A ，求∞Ax = ，∞)(A Cond =4、求方程xex -=2根的牛顿迭代格式为： ，取初值0x = 时迭代一定是收敛的。

二、已知 x x f y ==)( 的一组值：三、已知y 1=的一组值 分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 ⎰2.30.2ln dx x四、确定常数i A ，使求积公式)2()1()0()(32120f A f A f A dx x f ++≈⎰的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss 型公式。

五、用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程 b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=6156314212A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=3103b六、设方程组 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛212122211211b b x x a a a a ，其中02211≠a a ， 分别写出Jacob 及Gauss-Seidel 迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。

七、已知数据设b xax x f +=6sin)(π，求常数a ，b , 使得 ∑==-22min ])([i i i y x f八、用改进的欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长5.0=h ）：⎪⎩⎪⎨⎧==1)0(2y yx dx dy]1,0[∈x（取5位有效数字计算） 九、设*x c =是方程()0f x =的根，()f x 充分光滑可导,()0f c '≠，2()()()()()x x p x f x q x f x j =--。

试确定待定函数(),()p x q x ，使迭代格式1(),0,1,n n x x n j +==L求方程()0f x =的根*x c =时至少3阶局部收敛。

自测题一答案1、含根区间：[-2，-1]， [1，2]；求负根时，因为()1x x e j ¢=<，所以迭代收敛。

求正根时迭代不收敛；求正根时，用迭代格式：1ln(2)n n x x +=+或用牛顿法收敛： 102,21n nx n n n x x e x x x e+-+=-=- 2、分解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==400210112143012001LU A T y b Ly )4,3,6(,==T x y Ux )1,1,3(,==， 行列式8A L U ==. 3、Jacobi 迭代格式略；G-S 迭代格式如下：11231121311131213312113252m m m m m m m m m x x x a a x x x a a a x x x a a a ++++++⎧=---⎪⎪⎪=--++⎨⎪⎪=-+-⎪⎩Jacobi 迭代矩阵为0131102320J G a 轾--犏犏=--犏犏-臌， 3个特征值分别为0，2a ±， 谱半径=2a<1, 所以当2a >时，Jacobi 迭代收敛。

4、二次插值及余项：222() 2.59.58,()()(1)(2)(3)3!(1)(2)(3)L x x x f R x x x x a x x x x =-+ⅱ =---=---虽然()f x 不能完全确定，但()f x 是3次多项式，而辛卜生求积公式代数精度为3次，故用辛卜生求积公式可求出积分的准确数值：3121()[142]63f x dx =-+=-ò5、12341331444T A 轾犏=犏犏犏臌， 法方程y A b a A A TT =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛为： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡2816/354/314/3130b a ， a =32/89=0.36, b =-32/896、复化梯形T=0178[2()]2h y y y y ++++L =0.5 复化辛卜生S=0.7333=11/157、 (,)f x y xy =， 0.5h = n n n n y hx y y +=+1 ][2111+++++=n n n n n n y x y x hy y 10.5x =， 11y =， 1 1.125y = 21x =， 2 1.406y =， 2 1.617y = 8、（1）用泰勒公式得2222221212121221()[()()()()()]2kk k x x k k k k x k f x dx f x f x x x f x x dx x ------ⅱ =+-+-蝌3212()0()3k k h hf x f x -ⅱ=++ 所以，截断误差为3222()[,]3k k k k k h R f x x x x -ⅱ= ，1,2,,k n =L （2）复化公式为211()2()nbk ak f x dx h f x -=»åò复化截断误差321()()[,]36n kk h b a R f h f a b x h h =-ⅱⅱ== å自测题二答案一、（1）49!ε，不稳定； （2）5， 2； （3）12， 56；（4） kkx x k k k ee x x x --++--=221，00x =. 二、22217()()66L x x x N x =-+=， 5221()(1)(4)16R x x x x ξ-=--，04ξ≤≤ 三、n=6等分，h=0.2T=298.1])(2[26510=++++y y y y hS=2693.1]42424[36543210=++++++y y y y y y y h四、 31,34,31=i A ， 3次代数精度；不是高斯型公式。

五、 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==400130212143012001LU A T y b Ly )4,4,3(,-== T x y Ux )1,1,3(,-==六、Jacob 迭代： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=++22212211121112111211a b x a a x a b x a a x m m m mG-S 迭代： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+++222112211121112111211a b x a a x a b x a a x m m m m迭代矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=0022211112a a a a B J ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2211211211010a a a a a B G两个矩阵的谱半径()J B ρ=12211122()G a a B a a ρ=，它们同时小于1或同时大于等于1，所以两个迭代格式同敛散。

七、 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11135.00A ， y A b a A A TT =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡61035.35.325.9b a ， 所以 0.5806, 1.3226a b == 八、 2(,)f x y x y =， 0.5h =n n n n y hx y y 21+=+][212121+++++=n n n n n n y x y x h y y 10.5x =， 11y =， 1 1.0625y = 21x =， 2 1.1953y =， 2 1.4277y = 九、令 ()0c ϕ'=，得到1()()p c f c ='，所以取1()()p x f x ='.再令()0c ϕ''=，得到3()()2[()]f x q x f x ''='。