第十七章 排列组合与二项式定理17．1 乘法原理和加法原理 基础练习1．5个应届高中毕业生报考三所重点院校，每人报一所且只能报一所院校，则共有__________种不同的报名方法．解：每位学生可以有3种报考重点院校的方式，由乘法原理可得：53243=． 2．在所有三位数中，有且只有两个数字相同的三位数有__________个． 解：（1）百位和十位一样，有9981⨯=种， （2）百位和个位一样，有9981⨯=种，（3）十位和个位一样，有99981⨯⨯=种，一共243种．3．由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位奇数的个数是__________． 解：首先末尾必须排奇数，其次最高位不排0，则34432l 288⨯⨯⨯⨯⨯=．4．从0到8这9个数字中选4个数字组成没有重复数字的四位数，按下列要求分别求符合条件的个数． ①四位数中奇数的个数．②四位数中偶数的个数．③四位数中能被25整除的个数．④四位数中大于4500的个数．⑤四位数中小于3570的个数． 解：①47761176⨯⨯⨯=．②按首位是否为零分类，87647761512⨯⨯+⨯⨯⨯=．③66276114⨯⨯+⨯=．④48764761512⨯⨯⨯+⨯⨯=．⑤287647656870⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=．5．从2，3，5，7这四个数字中，任取两个分别作为分数的分子和分母．有几个是真分数?几个是假分数? 解：（1）按照分母可以取7，5，3分类，则3216++=． （2）按照分母可以取2，3，5分类，3216++=．6．已知{}210123m ∈--，，，，，，{}321012n ∈---，，，，，，且方程221x y m n+=是表示中心在原点的双曲线，则表示不同的双曲线最多有多少条?解：0mn <，则分0m >，0n <和0m <，0n >，则223313⨯+⨯=． 能力提高7．在一张平面上画了2 007条互不重合的直线1l ，2l ，…，2007l 始终遵循垂直、平行交替的规则进行：12l l ⊥,23l l ∥,34l l ⊥，…．这2007条互不重合的直线的交点共有多少个?解：100310041007012⨯=．8．4个学生各写一张贺卡放在一起，然后每人从中各取一张，但不能取自己写的那一张贺卡，则不同的取法共有多少种?解：由于先让一人甲去拿一种有3种方法，假设甲拿的是乙写的贺卡，接下来让乙去拿，乙此时也有3种方法，剩下两人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去． 这样两人只有一种拿法，3319⨯⨯=，故答案为9．9．一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，有多少种不同排课方法?解：数学课排第一节，班会课排在下午，然后再排体育，则2432148⨯⨯⨯⨯=， 数学课不排第一节，先排数学，再排班会，再排体育课，则323321108⨯⨯⨯⨯⨯=， 则有156种不同排课方法．10．如果一个三位正整数形如“123a a a ”满足12a a ∠且32a a <，则称这样的三位数为凸数，求这样的凸数的个数．解：对2a 进行分类讨论，由题意，当中间数是2时，首位可取1，个位可取0，1，故总的种数有212=⨯， 当中间数为3时，首位可取1，2，个位可取0，1，2，故总的种数共有623=⨯， …，当中间数为9时，首位可取1，2，…，8，个位可取0，1，2，…，8，故总的种数共有7289=⨯，故所有凸数个数为1223348926122030425672240⨯+⨯+⨯++⨯=+++++++=，故答案为：240． 17．2 排列 基础练习1．解方程：①32213P 2P 6P x x x +=+．②13P 17160r=． 解：①将排列写为分数形式，则()()()()31221615x x x x x x x x --=++-⇒=，②4x =． 2．10个人站成一排，要求甲，乙之间必须站4个人，则共有多少种不同的站法?解：甲，乙之间选4个人，然后把这6个人视为一个整体，则24582858P P P 52P 403200⨯⨯=⨯⨯=． 3．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目．3个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，可排出多少种不同的节目单?解：3个舞蹈节目无先后顺序，则一共88P 种，3个舞蹈节目在节目单中的先后顺序固定，则有8888P 6720P 种．4．一铁路线上原有”个车站．为适应客运需要，新增加了m 个车站()1m >，客运车票因此增加了62种．问现有多少个车站?（来回的车票不同）解：226262212n m n P P n m m m+-=⇒=-+⇒=，15n =，则17m n +=． 5．4位男生和4位女生围成一个圆圈，如果男女相问表演舞蹈，有多少种排法? 解：3!4!144⨯=．6．6颗不同珍珠与6颗不同的玛瑙相隔串成一串项链，有多少种不同的串法? 解：15!6!432002⨯⨯= （项链可以翻转）．7．有8个队比赛，采取淘汰制，在赛前抽签时，实际上可得到多少种不同的安排法?解：48!331524!⨯=⨯． 能力提高8．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王5名志愿者中选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余3人均能从事这四项工作，求不同的选派方案数． 解：由题意知本题需要分类， 若小张或小赵入选，则有选法113223C C P 24=；若小张、小赵都人选，则有选法2323P P 12=，根据分类计数原理知共有选法36种． 故答案为：36．9．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，求不同站法的总数．解：由题意知本题需要分组解决，由于对于7个台阶上每一个只站一人有37P 种；若有一个台阶有2人，另一个是1人共有1237C P 种，则根据分类计数原理知共有不同的站法种数是336种． 故答案为：336．10．在99⨯的黑白相间的棋盘上，有多少种方法将8只互不攻击的车放在同色的格子里?（称放在棋盘的同一行或同一列的2只车是互相攻击的）解：先考虑8只互不攻击的车放在黑色格里的方法种数，再考虑放在白色格里的方法种数．注意到，放在奇数行的黑格的车与放在偶数行的黑格的车不能互相攻击；同理：放在奇数行的白格的车与放在偶数行的白格的车不能互相攻击．（1）将原棋盘中奇数行的黑格拼成一个55⨯的棋盘，有5!种方法放置5只互不攻击的车在此棋盘里．将原棋盘中偶数行的黑格拼成一个44⨯的棋盘，有4!种方法放置4只互不攻击的车在此棋盘里．从而，共有5!4!⨯种方法将9只互不攻击的车放在原棋盘的黑格里．再从9只车中拿走任意一只车满足条件且其中没有重复，于是共有95!4!⨯⨯种方法将8只互不攻击的车放在原棋盘的黑格里．（2）将原棋盘中奇数行的白格，偶数行的白格分别拼成一个54⨯的棋盘，有5!种方法放置4只互不攻击的车在各自棋盘里，于是，共有()()2254325!⨯⨯⨯=种方法将8只互不攻击的车放在棋盘的白格里． 于是一共有()295!4!5!40320⨯⨯+=种方法．17．3 组合 基础练习1．圆上有8个点，任意两点可连成弦，两弦交点在圆内的有__________个．解：两弦的交点就是两弦的四个顶点构成的四边形的对角线的交点．于是两弦的交点数就是四边形的个数．于是，两弦交点在圆内的有48C 70=． 2．以正方体的顶点为顶点的四面体个数是__________个．解：正方体的八个顶点构成12个矩形，于是48C 1258-=． 3．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，则有多少种不同的分配方法?解：由挡板法可得，79C 36=． 4．100件产品中有4件次品，现抽取3件检查，（1）恰好有一件次品的取法有__________种． （2）既有正品又有次品的取法有__________种．解：（1）12496C C 18240=．（2）1221496496C C C C 18816+=．5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有__________种．解：4441284C C C 34650=． 6．从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有多少种不同的取法?解：4只鞋配成一双或配成两双，则1211254225C C C C C 130+=．7．如图17-2，点1P ，2P ，…，10P 分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组()()1110ijkP P P P i j k <<<，，，≤有多少个？图 17-2PP 96解：35C 333+=个．8．m ，n ，r +∈N ，试证明：011220C C C C C C C C C r r r r r n m n m n m n m n m --+=++++．解：构造数学模型证明．全班有n m +个人，从中选出r 个人当志愿者。

原式等价于先把全班人分成两组，A 组人数为n ，B 组人数为m ．然后从A ，B 组中共选出r 人．9．将两个a 和两个b 共4个字母填在44⨯的小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使用相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有多少种?解：()22222124444169C P C P C P 3960--=．10．平面上给定5个点，已知连接这些点的直线互不平行，互不垂直，也不重合．过每个点向其余四点的连线作垂线，这些垂线的交点最多能有多少个（不计已知的5个点）?解：垂线共有6530⨯=条，交点共有230C 435=个，由于同一点所作垂线无交点，且同一直线的垂线无交点．共扣除()15105125+⨯=个点．则实际有435125310-=个．17．4 其他几种排列组合基础练习1．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则共可发出的不同信号有多少种? 解：每个窗有3种亮灯方式，由乘法原理可知：一共53243=种方式．2．组成mathematician 的13个字母，可以组成多少个不同的13字母的单词？解：mathematician 中有2个m ，2个t ，2个i ，3个a ，于是共有13!2!2!2!3!⋅⋅⋅个不同的单词．3．晚会上共有9个演唱节目和4个舞蹈节目，要求每两个舞蹈节目之间至少有两个演唱节目．则有多少种不同的节目顺序表?解：4!·9!·47C ．4．求123413x x x x +++≤的正整数解的组数． 解：12344x x x x +++=，5，6， (13)然后用挡板法解题，得到：3333412C C C 715+++=．5．88x y z n ++=，x ，y ，*z ∈N 有666组正整数解，求n 的最大值． 解：max 8837304n =+⨯=．6．在1到610之间有多少个整数的各位数字之和等于9?解：转化成方程1234569x x x x x x +++++=的自然数解个数的问题，等价于方程12345615y y y y y y +++++=的正整数解个数的问题，514C 2002=． 7．3 570有多少不同的偶数因子?解：3570235717=⨯⨯⨯⨯，偶数因子里一定有2，3，5，7，17四个质数的每一个质数可能有，可能没有．则4216=． 能力提高8．如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序依次取出以1a ，2a ，3a 使同时满足：213a a -≥，323a a -≥，那么所有符合要求的不同取法有多少种? 解：811120nn k k ===∑∑种．9．有多少种方法将100表示成3的非负幂次的和的形式?（加数的不同排列是作同一种的表示方法） 解：402．10．由数字1，2，3组成n 位数()3n ≥，且在n 位数中，1，2，3每一个至少出现1次，那么，这样的”位数有多少个? 解：n 位数有133323n n I A A -=-⨯+个．17．5 排列与组合的综合应用 基础练习1．电梯里有7名乘客，在10层楼房的每一层停留，如果恰有3个乘客在同一层出去，有2个乘客在另一层同时出去，这样的下客方法有多少种? 解：1058400．2．把2000个不加区分的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i 个盒子里至少有i 个球()1210i =，，，，则不同的方法总数是多少?解：()()()123101231020001291995x x x x x x x x ++++=⇒+-+-++-=，即()()()123101291995x x x x +-+-++-=的正整数解的组数，等价于把1 955个一样的球分给10个人，每人至少得一个球．然后利用挡板法解题，91954C ．3．路上有编号为1，2，3，…，10共十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，且两端的灯也不能关掉，则满足条件的关灯方法共有多少种? 解：插空法解题，36C 20=．4．7粒相同的骰子扔在桌面上，可能出现多少种不同的结果?解：此问题为可重取组合数问题，用证明多元一次方程非负整数解的隔板模型做． 此问题即是求：{123456}，，，，，的七元可重组合数的个数．建立模型：7个相同的球排成一排，向八个间隔中插入5块隔板，一个间隔中可插多块．此时，第一块隔板左侧球的个数为1的个数，第一块和第二块间的球的个数为2的个数，依次类推．求插法总数． 为简化问题，在每块隔板左侧加一个球，题目变成12个球排成一排，向除了第一个球左边的间隔以外的12个间隔中插5块隔板，每个间隔只能插一块，求插法总数．512C 792=． 5．3个白球，6个红球排成一个圆环，共有多少种排法?解：10种．6．从1，2，…，21中任取若干个数相加，使其和为偶数，问共有多少种不同的取法？解：()021010111111C C C 21+++⋅-．能力提高7．8个人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，问有几种不同的坐法？ 解：将甲乙两人视作一个整体，7676P P 2120076-⨯=．8．在圆周上顺时针方向依次放置着数1，2，…，10，从中取三个数，要求其中任意两个都不圆周上相邻的数，则共有多少种取法？解：由容斥原理得()310101021050C -⨯-+=（123110x x x <<≤≤，212x x -≥，322x x -≥，13102x x +-≥）． 9．如图17-4所示，平面被分成六个区域，进行六染色，旋转后重合视为同一种，求染法总数．图 17-4解：()()311112512162636434655366C C C C C P C C 6P C C P 61140+++⋅++⋅=．10．空间有n 个平面，其中任意2个不平行，任意3个不共线，任意4个不共点，则空间被划分成多少个区域?解：3566n n ++．11．若四位数，n abcd =的各位数码以，a ，b ，c ，d 中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n 为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．解：称()a a a a ，，，为n 的数码组，则a ，b ，c ，d M ∈={1，2，…，9}； 一、当数码组只含一个值，为()a a a a ，，，，1a =，2，…，9，共得9个n 值． 二、当数码组恰含两个值以，a ，b ()a b >．（1）数码组为()a a a b ，，，型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个a ∈{2，…，9}，b 可取1a -个值，则数码组个数为()92136a a =-=∑，对于每组()a a a b ，，，， b 有4种占位方式，于是这种n 有364144⨯=个．（2）数码组为()a b b b ，，，型()a b >，据构成三角形条件，有2b a b <<． M 中a 的个数共得16个数码组，对于每组()a b b b ，，，，a 有4种占位方式，于是这种n 有16464⨯=个． （3）数码组为()a a b b ，，，型()a b >，据构成三角形条件，有2b a b <<，同上得16个数码组，对于每组()a a b b ，，，，两个a 有24C 6=种占位方式，于是这种n 有16696⨯=个．以上共计1446496304++=个．三、当数码组恰含三个值a ，b ，()c a b c >>．（1）数码组为()a b c c ，，，型，据构成三角形条件，则有2c b a c <<<这种()a b c c ，，，有14组，每组中a ，b 有24A 12=种占位方式，于是这种n 有1412168⨯=个．（2）数码组为()a a b c ，，，型，c b a b c <<<+，此条件等价于M ={1，2，…，9}中取三个不同的数构成三角形的方法数，有34组，每组中a ，b 有24A 12=种占位方式，于是这种n 有3412408⨯=个． （3）数码组为（a ，a ，b ，c ）型，c b a b c<<<+，同情况（2），有2434A 408=个n 值．以上共计168408408984++=个n 值．四、a ，b，c ，d 互不相同，则有d c b a c d <<<<+，这种a ，b ，c ，d 有16组，每组有4!个排法，共得164!384⨯=个n 值．综上，全部四位三角形数n 的个数为93049843841681+++=个． 17．6 二项式定理 基础练习1．求1021x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项．解：461010C C 210==． 2．已知9a x ⎛- ⎝的展开式中3x 的系数为94，求常数a 的值． 解：943992199C C rrr r r r a a T x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，则8r =， 1898999C4164a a =⇒=．得出：4a =．3．10的展开式和第3项小于第4项，求x 的取值范围．解：5105611010CC rr r r r T x--+==，则55552332341010C C T T x x --<⇒<， 10532451200x x x <⇒< 4．若12nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为20-，求n ．解：当x 为正数时，212nnxx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 常数项为()2C 120nn n -=-，解得：3n =．当x 为负数时，()2121nnn xx ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭， 常数项为()2C 120nn n -=-，解得：3n =． 综上：3n =．5．求在32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数．解：3622112x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()6216C 1r rr r T x -+=-，则2r =，则含2x 项的系数为15．6．求()()10211x x x ++-展开式中含4x 项的系数．解：432101010C C C 135-+=． 能力提高7．在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．解：2102112C C C 822nn n n ⎛⎫=+⇒= ⎪⎝⎭，则584181C 2rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0r =，4，8，有理项为41T x =，4584135C 28T x x ==，8229811T C 2256x x -8==． 8．已知()6sin x α+1的展开式中2x 项的系数与415cos 2x α⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数相等，求解α．解：(42126415C sin C cos 2cos cos 2πarccos 12k ααααα⎛⎫=-⇒-2-1=0⇒⇒± ⎪⎝⎭，k ∈Z ．9．()12nx +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解：()556C 2n T x =，()667C 2n T x =，依题意有5566C 2C 28n n n =⇒=．()812x ∴+的展开式中，二项式系数最大的项为()44458C 21120T x x ==．设第1r +项系数最大，则有11881188C 2C 256C 2C 2r r r r r r r r r --++⎧⋅⋅⎪⇒⎨⋅⋅⎪⎩≥≤≤≥． 则系数最大的项为561792T x =，671792T x =．最大的项为：561792T x =，671792T x =．10．已知()log 21nx x +的展开式中有连续三项的系数之比为123∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．解：()()()()()11!!!1231231!1!!!1!1!k k k n n n n n n C C C n k k n k k n k k -+=⇒=-+----+∶∶∶∶∶∶∶∶，()()()!!112311!1!!!12n n k n k n k k n k k n k =⇒=⇒=--+---+∶∶，()()()!!1223253!!1!1!3n n k n k n k k n k k n k +=⇒=⇒=+---+-∶∶，联立：31142535n k n n k k =-=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩．这三项是第5，6，7项．展开式的倒数第二项为：()213log 2log 21422C 1128log 3log xx xx x x =⇒=⇒=⇒=．则x =，或2x =． 17．7 二项式定理的性质与应用基础练习1．记()12nx -展开式中i x 的项系数为i a ，0i =，1，2，…，n ．求122222nna a a +++． 解：()C 2i i i na =-，则().012211C C 1222nii n n n n i a a a=+++=-=-=-∑． 2．若()727012731x a a x a x a x +=++++，（1）求0127a a a a ++++的值．（2）求0246a a a a +++的值．（3）求1357a a a a +++的值．解：（1）求二项展开式中各项系数之各，相当于去掉展开式中的示知字母x ，这可由赋值法令1x =实现．则()701273116384a a a a ++++=+=．①（2）若要求二项展开式中奇数项系数之和，可由赋值法令1x =-， 则()70123731128a a a a a -+-+-=-+=-．②将①，②两式相加得：()0246216384128a a a a +++=-，则02468128a a a a +++=．（3）将①，②两式相减得：()1357216384128a a a a +++=+， 则13578256a a a a =++=． 3．（1）求理论上：2511222n -++++能被31整除()*n ∈N ．（2）求1227272727C C C S =+++除以9的余数．解：（1）由于()5125152122221321311121n nn n n --++++==-=-=+-- 0111C 31C 31C 31C 1n n n nn n n n --=⨯+⨯++⨯+-()0112131C 31C 31C n n n n n n ---=⨯+⨯++，则原式能被31整除．（2）()91227279272727C C C 2181911S =+++=-=-=--()091889081789999999C 9C 9C 9C 19C 9C 9C 2=⨯-⨯++⨯--=⨯-⨯++-()081789999C 9C 9C 17=⨯-⨯++-+，故S 被9除的余数为7．4．101011-的末尾连续零的个数是几个．解：()10100101991010101010101110011C 100C 100C 100C 1-=+-=⨯+⨯++⨯+-()208178101010100C 100C 100C 1000=⨯+⨯+++则101011-的末尾连续零的个数是3个．5．若)()21*20r m r m αα+=+∈<<1N ，，，求证：()1m αα+=．解：))212121221012221212122C C 2C 2r r r rr r r r +++-+++-=+⋅+⋅+()()()21221210122212121212C 5C 52C 522r rr r r r r r +-+++=+⎡⎤+--⋅+⋅+-⎢⎥⎣⎦2221332121212222rr r r r C C -+++⎡⎤=⋅+⋅++⎢⎥⎣⎦1313212121*2121212525252r r r r r r r r C C C ---++++⎡⎤=⋅+⋅⋅+++∈⎣⎦N ．()201∈，，从而)()21201r +∈，．所以()131321212121212125252522r r r r r r r r r m C C C ---++++=⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+ )212r a +=．故()))()21212122541r r rmαα+++ +=⋅=-=．6．设((19821515x=+++，求数x的个位数字．解：令((19821515y=+-，则((((1982198215151515x y⎡⎤⎡⎤+=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．由二项式定理知，对任意正整数n，((()22151521515220n nn nnC-+=+⋅⋅+为整数，且个位数字为零．因此，x y+是个位数字为零的整数．下面对y估值．因为50150.225<=<=，且((88191515-<，所以(1919021520.20.4y<<<⨯<．故x的个位数字为9．7．已知10x px q-+能被()21x+整除，求p，q．解：()()1010111x px q x p x p q-+=-++-+++()()()()()2101210101C11C111x x x p x p q=+-++++++-+++()()()()2102101101C11p q p x x x=++-+++++++10101009p q pp q++==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩．能力提高8．设()21*11nna q q q n q-=++++∈≠±N，，1212C C C nn n n n nA a a a=+++．（1）用q，n表示nA．（2）当31q-<<时，求lim2nnnA→∞．（3）设122nn nAb b b+++=，证明：数列{}n b是等比数列．解：（1）11nnqaq-=-，()1111211C C C111n nin n ni i u in n n ni i iqqA qq q q===+--⎛⎫==⋅-=⎪---⎝⎭∑∑∑．（2）()1111lim lim1lim0121211nnnn n nA qq q q→∞→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎡⎤+⎪⎪⎛⎫=⋅-=⋅-=⎢⎥⎨⎬⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭．（3）1111111112212222n n nn nn n nA A q q qbq++++⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅-=⋅⎢⎥⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，11122qb+=⋅．∴数列{}n b 是等比数列．9．已知a ，b 均为正整数，且a b >，222sin ab a b θ=+（其中π02θ<<），()22sin n A a b n θ=+⋅，求证：对一切*n ∈N ，n A 均为整数．解：因为222sin ab a b θ=+，且π02θ<<，a b >，所以2222cos a b a b θ-==+． 显然sin n θ为()cos sin ni θθ+的虚部， ()()()222222222221cos isin i 2i nn n a b ab a b aqb a b a b a b θθ⎛⎫-+=+=-+ ⎪++⎝⎭+ ()()2221i n n a b a b =++．所以()()()222cos isin i n n a b n n a b θθ++=+．从而()22sin n n A a b n θ=+为()2i n a b +的虚部．因为a 、b 为整数，根据二项式定理，()2na bi +的虚部当然也为整数，所以对一切*n ∈N ，n A 为整数．10．观察下列等式：15355C C 22+=-；197399C C 22+=+；1591311513131313C C C C 22+++=-； 15913171571717171717C C C C C 22++++=+；…由以上等式推测一个一般的结论：对于*n ∈N ，15144141414141C C C C n n n n n n x +++++++++．解：()4104114414141411C C C n n n n n n n x x x +++++++=+++．分别将i ，i -，1，1-代入，即可得()15941412141414141212nn n n n n n n C C C C +--++++++++=+-． 11．某市2005年底人口为20万，人均住房面积为8平方米，计划2009年底人均住房面积达到10平方米，如果该市将人口平均增长率控制在1%，则要实现上述计划，这个城市每年平均至少要新建住房面积为多少万平方米？（结果以万平方米为单位，保留两位小数） 解：高每年平均新增住房x 平方米，则2010年住房面积为 ()22000008416000004x x m ⨯+=+，2009年人口数为()20000011%⨯+，依题意知()41600000420000011%10x +=⨯+⨯，解之得12.05x =（万平方米）．。