第3章线性规划模型的应用1.某企业制造三种仪器，甲种仪器需要17小时加工装配，8小时检测，售价300元。

乙种仪器需要10小时加工装配，4小时检测，售价200元。

丙种仪器需要2小时加工装配，2小时检测，售价100元。

三种仪器所用的元件和材料基本一样，可供利用的加工装配时间为1000小时，检测时间为500小时。

又根据市场预测表明，对上述三种仪器的要求不超过50台、80台、150台。

试求企业的最优生产计划。

解：首先将问题中的数据表示到如下表格：imaxZ=300x1+200x2+100x317x1+10x2+2x3≤10008x1+4x2+2x3≤500x1≤50x2≤80x3≤150x1,x2,x3≥02. 某铸造厂要生产某种铸件共10吨，其成分要求：锰的含量至少达到0.45%，硅的允许范围是3.25%~5.5%。

目前工厂有数量充足的锰和三种生铁可作为炉料使用。

这些炉料的价格是：锰为15元/公斤，生铁A为340元/吨，生铁B为380元/吨，生铁C为280元/吨。

这三种生铁含锰和含硅量（%）如表3.22所示，问工厂怎样选择炉料使成本最低。

表3.22成分锰有部分是纯锰，部分是从生铁中提炼出来的，所以改进表格如下：设铸件中含有三种生铁和锰的量分别为xi（i=1，2，3，4）吨，则数学模型如下：maxZ=340x1+380x2+280x3+15000x4x1+x2+x3+x4=100.45%x1+0.5%x2+0.35%x3+x4≥0.45%*104%x1+1%x2+0. 5%x3≥3.25%*104%x1+1%x2+0. 5%x3≤5.5%*10xi≥0（i=1，2，3，4）3. 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m和1.5m的圆钢各一根。

已知原料每根长7.4m，问应如何下料，可使所用原料最省。

解：4. 绿色饲料公司生产雏鸡、蛋鸡、肉鸡三种饲料。

这三种饲料是由A、B、C三种原料混合而成。

产品的规格要求、产品单价、日销售量、原料单价见表3.23、表3.24。

受资金和生产能力的限制，每天只能生产30吨，问如何安排生产计划才能获利最大？表3.23产品名称规格要求销售量（吨）售价（百元）雏鸡饲料原料A不少于50%5 9 原料B不超过20%蛋鸡饲料原料A不少于30%18 7 原料C不超过30%肉鸡饲料原料C不少于50% 10 8表3.24含有第j种原料的数量（吨），即：则数学模型如下：MaxZ=9(x11+x12+x13)+7(x21+x22+x23)+8(x31+x32+x33)-5.5(x11+x21+x31)-4(x12+x22 +x32)-5(x13+x23+x33)x11+x12+x13+x21+x22+x23+x31+x32+x33=30x11+x12+x13≤5x21+x22+x23≤18x31+x32+x3≤10x11≥50%*(x11+x12+x13)x12≤20%*(x11+x12+x13)x21≥30%*(x21+x22+x23)x23≤30%*(x21+x22+x23)x33≥50%*(x31+x32+x33)X11,x12,x13,x21,x22,x23,x31,x32,x33≥05. 假定人体每日需要的营养成份：蛋白质、脂肪、糖、维生素的数量至少为b1、b2、b3、b4，而含有上述营养的食品有粮食、肉类、蔬菜,每种食品每单位所含各种营养成份的数量分别为a ij (i =1，2，3；j = 1，2，3，4) ，若已知每种食品的单价分别为c1，c2和c3，试确定在满足营养需要的条件下最便宜的食品购买计划。

解：设x1 x2 x3分别表示粮食、肉类、素菜的量，则问题的数学模型如下：minZ=c1x1+c2x2+c3x3a11x1+a21x2+a31x3≥b1a12x1+a22x2+a32x3≥b2a13x1+a23x2+a33x3≥b3a14x1+a24x2+a34x3≥b4x1、x2、x3≥06. 某超市制订某商品7月至12月进货售货计划。

已知超市仓库容量不得超过500件，6月底已存货200件，以后每月初进货一次。

假设各月份某商品买进、售出单价如表3.25所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最大？表3.25i i某商品7月至12月售货量，则：MaxZ=22y7+19y8+20y9+23y10+21y11+19y12-21x7-18x8-20x9-22x10-20x11-19x12200+x7≤500200+x7-y7+x8≤500200+x7-y7+x8-y8+x9≤500200+x7-y7+x8-y8+x9-y9+x10≤500200+x7-y7+x8-y8+x9-y9+x10-y10+x11≤500200+x7-y7+x8-y8+x9-y9+x10-y10+x11-y11+x12≤500200+x7-y7+x8-y8+x9-y9+x10-y10+x11-y11+x12-y12=0x i（i=7,…12）≥0y i（i=7,…12）≥07. 某地区有两个煤场A、B，承担供应三个居民区的用煤任务。

两个煤场每个月分别供煤60吨、100吨，而三个居民区每月用煤分别为45吨、75吨、40吨。

煤场A离三个居民区分别为10公里、5公里、6公里，煤场B离三个居民区分别为4公里、8公里、15公里，两个煤场应如何分配供煤，才能使运输力达到最小。

解：运输费用表如下：运输力达到最小(表格中间的数字的含义修改为运输单位煤的运输费用)设i=1，2分别表示煤场A、B；j=1,2,3分别表示三个居民区；xij表示从第i煤场运输到第j 居民区的运输量，运输量表如下：maxZ=10x11+5x12+6x13+4x21+8x22+15x23x21+x22+x23=100x11+x21=45x12+x22=75x13+x23=40xij≥0(i=1,2;j=1,2,3)8. 一艘货轮，分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如表1所示。

现有三种货物待运，已知有关数据见表3.26、表3.27。

为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系，具体要求前、后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过15%，前、后舱之间不超过10%。

问该货轮应装载A，B，C各多少件，运费收入为最大？表3.26表3.27解：分析：85%≤前舱总重量/中舱总重量≤115%85%≤后舱总重量/中舱总重量≤115%90%≤前舱总重量/后舱总重量≤110%设i=1，2，3分别表示商品A、B、C；j=1，2，3分别表示前舱、中舱、后舱；x ij分别表示第i种商品装载到第j种舱位的商品的数量（件）根据题意，该问题的数学模型为：maxZ=1000(x11+x12+x13)+700(x21+x22+x23)+600(x31+x32+x33)x11+x12+x13≤600x21+x22+x23≤1000x31+x32+x33≤8008x11+6x21+5x31≤20008x12+6x22+5x32≤30008x13+6x23+5x33≤150010x11+5x21+7x31≤400010x12+5x22+7x32≤540010x13+5x23+7x33≤15008x11+6x21+5x31≤115%(8x12+6x22+5x32)8x11+6x21+5x31≥85%(8x12+6x22+5x32)8x13+6x23+5x33≤115%(8x12+6x22+5x32)8x13+6x23+5x33≥85%(8x12+6x22+5x32)8x11+6x21+5x31≤110%(8x13+6x23+5x33)8x11+6x21+5x31≥90%(8x13+6x23+5x33)x ij≥0(i,j=1,2,3)9. 一个合资食品企业面临某种食品一至四月的生产计划问题。

四个月的需求分别为：4500吨、3000吨、5500吨、4000吨。

目前(一月初)该企业有100个熟练工人，正常工作时每人每月可完成40吨，每吨成本为200元。

由于市场需求浮动较大，该企业可通过下列方法调节生产：(1)利用加班增加生产，但加班生产产品每人每月不能超过10吨，加班时每吨成本为300元。

(2) 利用库存来调节生产，库存费用为60元／吨·月，最大库存能力为l000吨。

请为该企业构造一个线性规划模型，在满足需求的前提下使四个月的总费用为最小。

j=1，2，3分别表示正常生产、加班生产、库存三种方式；xij分别表示第i个月第j种方式的产品的数量（吨）则问题的数学模型为：MinZ=200(x11+x21+x31+x41)+300(x12+x22+x32+x42)+60(x13+x23+x33)x11+x12 - x13=4500x13+x21+x22 - x23=3000x23+x31+x32 - x33=5500x33+x41+x42 - x43=4000x11≤40*100x21≤40*100x31≤40*100x41≤40*100x12≤10*100x22≤10*100x32≤10*100x42≤10*100x13≤1000x23≤1000x33≤1000xij≥0（i=1，2，3，4；j=1，2，3）。