第一类问题：投资问题
案例研究1
梦大发展公司房产投资 Think-Big Development Co.
梦大发展公司是商务房地产项目的主要投资商，现 该公司有机会在三个投资项目中投资： 项目1：建造高层办公楼 项目2：建造宾馆 项目3：建造购物中心
公司的资金来源：现有2500万美元，预计一年后可获 得2000万美元，两年后可在获得2000万美元，三年后 又可获得1500万美元
储蓄收入 1197.651 784.7097 317.2738 0 0 0 1000 600 640 480 760 1020 950 >= >= >= >= >= >= >=
每年要求 金额 1000 600 640 480 760 1020 950
746.59 597.27
目标初始投资最小
4548.89
√
√ √ √
s1
2s √ √ √ √
3
2
s3
4
s4
5
s5
代理商的最小数量
48 S1 ≥ 48
79 S1 + S2 ≥ 79 65 S1 + S2 ≥ 65
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √
87 S1 + S2 + S3 ≥ 87 64 S2 + S3 ≥ 64 73 S3 + S4 ≥ 73 82 S3 + S4 ≥ 82 43 S4 ≥ 43 52 S4 + S5 ≥ 52 15 S5 ≥ 15
第四章
线性规划:建模与应用
线性规划应用非常广泛，早期的主要用于军事上，如 作战资源分配，雷达等防御武器的布局，后备物质的运输 等。二十世纪五六十年代用于经济管理。典型的有企业生 产计划的制定、投资计划的制定、种植计划的制定、资源 的分配问题等。 本章以投资问题、人员安排问题、生产计划问题、资 源分配问题等典型的类型来介绍线性规划在经济管理与决 策分析中的应用。从这些应用中，大家会看到线性规划的 卓越贡献。
1 1 5000 <= 5000 <= 40000
1 1 5000 <= 5000 <= 40000
0 0 5000 <= 30000 <= 40000
1 0 5000 <= 35000 <= 40000
1 0 5000 <= 5000 <= 40000
= <=
50000 30000
决策变量
投资总额 100000
债券投资问题
国家农业银行(National Agricultural Bank,NAB)希望为十五名 要提前退休的员工制定一项提前退休计划。这些员工将要在从明年 开始的七年内逐渐退休完。为了给这个提前退休计划筹集资金，此 银行决定在这七年期间进行债券投资。下表给出了每年应向这些提 早退休的员工支付的金额，这些金额必须在每年年初支付。
债券3 国债 0.5 0.065 0.065 0.065 0.065 0.065 1.065 1784.04 892.02
债券收入 初始投资 储蓄 2388.38 4548.89 1160.51 162.73 760.38 162.73 307.44 162.73 0.00 760.00 0.00 1020.00 0.00 950.00 储蓄利率 3.20%
St Dt
第7年
p3 x3 (1 r3 ) 1.032St 1 Dt
最优方案
债券投资问题 债券 年份 1SNCF 1 1 2 0.07 3 0.07 4 0.07 5 0.07 6 1.07 7 购买量 购买额 899.08 899.08
债券 2Fujitsu 0.8 0.07 0.07 0.07 1.07
P—债券价格，Dt—每年资金需求，ri---债券利率 第1年
y pi xi S1 D1
i 1
3
第2…4年
p x r 1.032S
i 1 i i i
3
t 1
St Dt
t 1
第5，6年
i 1,2
p x (1 r ) p x r 1.032S
i i i 3 3 3
=
资金总量 100000
总投资回报最高
案例研究3
连续投资问题
某公司经调研分析知，在今后三年内有四种投资机会。第Ⅰ种 方案是在三年内每年年初投资，年底可获利15%，并可将本金收回
；第Ⅱ种方案是在第一年的年初投资，第二年的年底可获利45%， 并将本金收回，但该项投资不得超过2万元；第Ⅲ种方案是在第二 年的年初投资，第三年的年底可获利65%，并将本金收回，但该项 投资不得超过1.5万元；第Ⅳ种方案是在第三年的年初投资，年底收 回本金，且可获利35%，但该项投资不得超过1万元。现在本公司 准备拿出3万元来投资，问如何计划可使到第三年年未本利和最大 ？
年 金额（千欧元） 表：每年要求金额 1 2 3 1000 600 640 4 480 5 760 6 1020 7 950
此银行计划购买三种不同的债券，即SNCF公司（法国国营铁路 公司）的债券，Fujutsu（富士通）公司债券，以及国债。未投资 于这些债券的资金将作为储蓄保存，储蓄的利率为3.2%,下表列出 了各个债券的收益,时间长度,以及价格等信息.这些债券只能按整数 数目进行购买,并且一旦购买之后在债券期限内即无法更改投资金 额.每年只返回投资的利息.此退休计划的负责人决定只在第一年年
Union Airways Corp. 联合航空公司
轮班的时段 时段 1 2 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ $170 $160 $175 $180 $195 3 4 5 代理商的最小数量
6 AM to 8 AM
8 AM to 10 AM 10 AM to noon Noon to 2 PM 2 PM to 4 PM 4 PM to 6 PM 6 PM to 8 PM 8 PM to 10 PM 10 PM to midnight Midnight to 6 AM 代理商的轮班成本
90 140 160 220
25 45 65 80
设对三个项目的投资比例分别为x1 , x2 , x3 , 净现值为z
max z 45x1 70 x2 50 x3 40 x1 80 x2 90 x3 25 100 x1 160 x2 140 x3 45 190 x1 240 x2 160 x3 65 200 x1 310 x2 220 x3 80
最优投资方案
投资选择问题 编号 国别 类型 期望收益率 数据转换 国别(欧洲) 是否技术股 1 日本 T 5.3% 2 英国 T 6.2% 3 法国 T 5.1% 4 美国 N 4.9% 5 德国 N 6.5% 6 法国 N 3.4% 投资总量 50000 30000 资金总量的 50% 30%
0 1 5000 <= 20000 <= 40000 5540
第0年 第1年 第2年 第3年
累计资金需求 ($millions) 40 80 90 100 160 140 190 240 160 200 310 220
<= <= <= <=
参与百分比
办公楼 0.00%
宾馆 16.50%
购物中心 13.11%
案例研究2
投资方案选择
有一个理财顾问需要帮助他的一个富有的女客户选择几种股票 进行投资。此客户希望购买总值为100,000欧元的6支不同股票。顾 问将为其估算在六个月中可能得到的回报。下表列出了每支股票的 国家，类型（T：技术股，N：非技术股），以及期望收益率ROI）。 此客户还有一些其他的要求。她希望在每支股票上至少投入5,000 欧元，至多投入40,000欧元。此外还要求将一半的资金投入到欧洲 的股票中，并且至多30％的资金用于购买技术股。那么应该如何在 各支股票之间分配此资金才能够使投资回报最高？
分析: 该问题的实际投资背景如下表所示：
（1）确定决策变量：设xij表示第i年对第j个方案的投资额,i=1,2,3; j=1,2,3,4 年份 一
x11 x12 x21 x23 x31 x34
二
1.15x11
三
四
1.45x12 1.15x21 1.65x23 1.15x31 1.35x34
（2）确定目标函数：第三年年未的本利和为 maxz=1.65x23+1.15x31+1.35x34 （3）确定约束条件：
√
√ √ √
48
79 65 87 64 73 82 43 52 15
问题分析
Union Airways Corp. 联合航空公司
轮班的时段 时段 1
6 AM to 8 AM
8 AM to 10 AM 10 AM to noon Noon to 2 PM 2 PM to 4 PM 4 PM to 6 PM 6 PM to 8 PM 8 PM to 10 PM 10 PM to midnight Midnight to 6 AM 代理商的轮班成本
编号 1 2 3 4 国别 日本 英国 法国 美国 类型 T T T N 期望收益率 5.3% 6.2% 5.1% 4.9%
5
6
德国
法国
N
N
6.5%
3.4%
பைடு நூலகம் 编号
国别
类型
期望收益率
1
2 3 4 5 6
X1
X2 X3 X4 X5 X6
日本
英国 法国 美国 德国 法国
T
T T N N N
5.3%
6.2% 5.1% 4.9% 6.5% 3.4%
分析:
max Z 0.053x1 0.062 x2 0.051x3 0.049 x4 0.065 x5 0.034 x6 x1 x2 x3 x4 x5 x6 100000 x x x x 50000 2 3 5 6 x1 x2 x3 30000 5000 xi 40000