目录摘要 ---------------------------------------------------1 引言 ---------------------------------------------------2 一线性规划的概念 -------------------------------------3 二线性规划的实际应用 ----------------------------------4（（四）体育上的应用 1.合理安排比赛问题 -------------132.选拔选手问题 -----------------14 （五）旅行上的问题:旅行背包问题 ------------------------15 （六）航空上的问题:航空时间安排问题 --------------------16 （七）城市规划的应用:设施布点问题 ----------------------18 （八）日常生活上的应用 1.食用油的结构优化问题 ---------192.饮食问题 ---------------------21 （九）农业上的应用:农业种植问题 ------------------------23 三总结及参考文献 --------------------------------------25线性规划的实际应用模型王丽娜（渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）摘要：本文从运筹学的角度分析线性规划的实际应用模型，随着人类社会的进步，科学技术的发展，经济全球化进程的日益加快，线性规划在实际中的应用越来越广泛，主要应用于经济与管理,军事,金融,体育,旅行,航空,城市规划,日常生活,农业九大方面，因此，线性规划作为一门科学已被人们广泛接受，并已日益成为人类社会和经济生活中一种不可或缺的工具。
关键词：运筹学线性规划分析模型Zhe model in practical application of linear programmingWang lina(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract:This article analyse the practical application of linear programmingfrom the sight of operational research,with the advancement of human society,thedevelopment of science and technology and the faster grogramming has widerapplication in the practical,has been applied to nine aspects,in econemy,management,military,finance,physical education,travelling,airline,cityplanning,daily life, agriculture.The examples will be given to show the applicationin the nine aspects given abo。
Key word:operational research ,linaear programming, analy ,model引言线性规划是运筹学的一个重要分支。
也是研究较早的，发展较快的,应用较广而比较成熟的一个分支。
早在本世纪30年代后期，苏联数学家康特洛维奇为了解决生产组织里的一系列问题，如机器负荷分配，原材料的合理利用等，提出了“解乘数法”，同时，发表了一系列文章，其中的代表作是“生产组织与计划中的数学方法”。
我国从1958年开始用线性规划来解决生产中的问题，取得了一定的效果，特别是在物资调运方面，总结出我国特有的“图上作业法”，运筹学工作者在此基础上作出进一步的发展和提高工作，随着我国四个现代化建设的需要，线性规划得到越来越广泛的普及，从事这方面理论研究和实际应用工作的队伍越来越大。
线性规划所研究的问题主要有两类:一类是当一项任务确定后，如何统筹安排，尽量做到以最少的人力，物力资源去完成；另一类是已有一定数量的人力，物力资源，如何安排使用它们，使完成的任务（或创造的财富，利润）最多？这两类问题实际上是一个问题的两个方面，即所谓寻求整个问题的某个整体指标最优的问题。
日常生活，农业，体育，交通，运输，军事，经济与管理决策等领域都有应用，大到一个国家，一个地区，小到一个企业，一个车间，一个班组都有运用线性规划后提高经济效益的例子，本文主要讨论线性规划解决实际问题的应用并总结出一般模型。
一.线性规划的概念(3)规划问题的数学模型由三个要素组成：（1）变量，或称决策变量，是问题中要确定的未知量，它用以表明规划中的用数量表示的方案，措施，可由决策者决定和控制；（2）目标函数，它是决策变量的函数，按优化目标分别在这个函数前加上max或min；（3）约束条件，指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，通常表达为含决策变量的等式或不等式。
如果规划问题的数学模型中，决策变量的取值是连续的，即可以为正数，也可以为分数，小数或实数，目标函数是决策变量的线性函数，约束条件是含决策变量的线性等式或不等式，则该类规划问题的数学模型称为线性规划的数学模型。
假定线性规划问题中含n个变量，分别用xj（J=1，2，…，n）表示，在目标函数中xj 的系数为cj（cj通常称为价值系数），xj的取值受项资源的限制，用bi(i=1,…,m)表示第i中资源的拥有量，用aij 表示变量xj取值为1个单位时所消耗或含有的第i种资源的数量，通常称aij为技术系数或工艺系数。
则上述线性规划问题的数学模型可表示为：Max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn(1)s.t. a11x1+a12x2+…+an1xn≤＝≥b1a21x1+a22x2+…+an2xn≤＝≥b2(2) …a1m x1+a2mx2+…+amnxn≤＝≥bnx1, x2,…, xn≥0 (3)在上述线性规划的数学模型中，或（1）称为目标函数，或（2）称为约束条件，或（3）称为非负条件，式中，Z为目标函数，xj（J=1，…，n）为决策变量，c1, c2,…,cn,b1,b2,…,bn, a11,a12,…,an1,a21,a22, …,an2, a1m, a2m…,amn都是常数。
二. 线性规划的实际应用线性规划在各行各业都有实际应用的典例，下面列举线性规划的实际应用。
（一）经济与管理上的应用经济管理中,如何有效的利用现有人力，物力去完成更多的任或在预定的任务目标下,如何用最少的人力，物力去完成目标,这就是用线性规划在经济与管理方面要解决的具体问题.1.生产组织与计划问题产品配套问题(5)某车间可以用塑料生产以下三种管状产品,有关数据如下表表1现有丁产品(新产品或用户要求生产的产品),设生产1m需塑料3kg,和工时5h,每米利润为6元,如下表表2人们发现不仅可以单独出售上述产品,还可以把它们组成套件出售:一种是4乙产品与3丙产品组成一套,利润为27元;另一种是甲,乙,丁产品各1米组成一套,利润为13元,问如何组织生产,如何销售(单独出售多少,成套出售各多少)使总利润最大.解:设四种产品单独销售量为y1,y2,y3,y4,两种成套产品销售U1,U2,这6个决策变量的值求得之后,四种产品的生产量x1,x2,x3,x4就可用下式算得:x1= y1+U2x2= y2+4 U1+ U2x3 = y3+3U1x4= y4+ U2把成套的产品作为新产品,第一种是乙,丙两种产品按4:3组合,这种产品记做(乙4×丙3),乙产品4以及丙产品3组成相当于1的(乙4×丙3),因此它需要7(=4×3)塑料和37(=4×4+7×3)个工时,第二种记做(甲×乙×丁),相当于它1的3(=1+1+1)塑料与10(1×4+5)个工时,表1与两种成套产品合并成为表3表3数学建模如下:maxZ=2 y1+3 y2+332 y3+6 y4+27 U1+13 U2s.t. y1+ y2+ y3+3 y4+7 U1+5 U2≤135y1+4 y2+7 y3+5 y4+37 U1+10 U2≤405y1, y2, y3, y4, U1, U2≥0因此:最大总利润为4022315元,最优的产品结构是;出售两种成套产品,不出售单一品种,(乙4×丙3)产品出售52320套, (甲×乙×丁)产品出售182320套,于是甲,乙,丙与丁产品生产:产品甲: x1 = y1+ U2=18.783(m)产品乙: x2= y2+4 U1+ U2=42.261(m)产品丙: x3= y3+3 U1=17.609(m)产品丁: x4= y4+ U2=18.783(m)归纳一般模型为：车间生产m 种产品，利润分别a1, a2,…, an，用原料分别为b1, b2, …, bn, 工时分别h1, h2, …, hn，总用料不超过A，总工时不超过B，问如何组织销售使总利润最大？解：maxZ=a1x1+a2x2+… +anxns.t. b1x1+ b2x2+…+ bnxn≤Ah1x1+ h2x2+…+ hnxn≤Bx1, x2,…, xn≥02.运输问题产销平衡的运输问题⑵某部门有3个生产同类产品的工厂,生产由4个销售点出售,各工厂的生产量,各销售点的销售量(假定单位均为t)以及各工厂到各销售点的单位运价(元\t)示于表4要求研究产品如何运才能使总运费最小?表4解:用xij表示由第 i个产地运往第 j 个产地的产品数量,即可写出该问题的数学模型:minZ=cij xij=4x11+12x12+4x13+11x14+2x21+10x22+3x23+9x24+8x31+5x32+11x33+6x34s.t. x11+x12+x13+ x14=16x21+ x22+ x23+ x24=10x31+ x32+x33+ x34=22x11+ x21+ x31=8x12+ x22+ x32=14x13+ x23+ x33=12x14+ x24+ x34=14xij≥ 0计算得该运输问题的一个初始解: x13=10, x14=6, x23=2, x32=14,x34=8其他变量全等于零,即由A1运10单位物品给B3,运6单位物品给B4;由A2运8单位物品给B1,运2单位物品给B3;由A3运14单位物品给B2,运8单位物品给B4,总运费Z=10×4+6×11+8×2+2×3+14×5+8×6=246(元)（二）军事上的应用军事上的运载和分配武器装备等问题都需要用线性规划来解决. 例子如下:向运载工具分配武器的问题(7)四类武器(m=4)需分配到六类运载工具(n=6)上; xj是第j类武器运载工具的数量,向运载工具分配武器,需要确定运载工具的总损失为最小的每类运载工具数量,毁伤运载工具的概率见下表5表5解:有待最优化的目标函数是:y=0.4x1+0.5x2+0.2x3+0.8x4+0.6x5+0.3x6+4x1+x4=162x2+x5=10x3+2x4+6x5=764x1+3x2+x6=24xj≥0 (j=1,2,3,4)解得最优方案为:x1=4,x2=0,x3=16,x4=0,x5=10,x6=8目标函数最小为y=-2.4×4+0.8×0+22.8=13.2总结一般模型为：把m 种武器分配到运载工具上，xj是第j类武器运载工具的数量，毁伤第j类运载工具的概率为 cj,需确定运载工具的总损失最小的每类运载工具的数量，则y=c1x1+c2x2+…+cnxna11x11+a12x12+…+an1xn1=A1…a1n x1n+a2nx2n+…+annxnn=Anxij≥0（三）金融行业中的应用线性规划对金融行业中的金钱投资,运行正常等方面的实际问题的具体解决有重要影响,下面就具体列出线性规划在这类问题中的具体应用:1.银行运行问题⑵振华银行的四个分理处的投入产出情况如表所示,要求分别确定各分理处的运行是否DEA有效.表6解:若先确定分理处1的运行是否DEA有效,可列出线性规划模型如下:minEs.t. 1800ⅴ1+1000ⅴ2+800ⅴ3+900ⅴ4≥1800 ①200ⅴ1+350ⅴ2+450ⅴ3+420ⅴ4≥ 200 ②1600ⅴ1+1000ⅴ2+1300ⅴ3+1500ⅴ4≥ 1600 ③15ⅴ1+20ⅴ2+21ⅴ3+20ⅴ4≤15E ④140ⅴ1+130ⅴ2+120ⅴ3+135ⅴ4≤40E ⑤ⅴ1+ⅴ2+ⅴ3+ⅴ4=1ⅴj≥ 0 (j=1,2,3,4)求解结果为E=1,说明分理处1的运行为DEA有效,在上述模型中只需将式①～⑤的右端项数字分别更换为要确定的分理处的产出和投入的数字,就可以分别计算出E的值,计算结果为对分理处3和4,E=1,但对分理处2有E=0.996, ⅴ1=0.28, ⅴ2=0.72,ⅴ3=ⅴ4=0,即分理处2运行非DEA有效,若将28%的分理处1同72%分理处3组合,其各项产出不低于分理处2的各项产出,但其投入只有分理处2的96.6%总结一般模型为：某银行n个分理处投入产出情况：职员数为 a1,a2,…,an,营业面积 b1,b2,…,bn，储蓄存取c1,c2,…,cn，贷款 d1,d2,…,dn,中间业务e1,e2,…,en,则minEa1x1+a2x2+…+anxn≥Ab1x1+b2x2+…+bnxn≥Ac1x1+c2x2+…+cnxn≥Ad1x1+d2x2+…+dnxn≥Ae1x1+e2x2+…+enxn≥Anxj≥02.投资组合选择问题(8)中国投资基金正在发行一个固定收益共同基金, 基金经理预测到发行结束之后,可以售出一亿份基金(一份基金等于人民币一元), 基金管理的首要目的是获取投资收益,第二个目标是通过分散投资控制风险,假设投资组合经理所面临的企业债券如下表所列:表7为了符合分散投资目的, 基金管理人决定投资于任何单支债券的资金额不能超过总资产的25%,至少有一半以上资金投资于长期债券(2009年以后),投资在等级为“一般”债券上的资金额不能超过总资产的30%.解:设xi=投资在第i只企业债券上的资金额(单位:人民币,万元) 显然 i=A,B,C,D,E,F,目标函数:当前基金的收益率为p=0.085 xA +0.09 xB+0.1xC+0.095xD+0.085xE+0.09xFs.t. xA +xB+xC+xD+xE+xF=10000xi≤ 2500 i= A,B,C,D,E,F,xA +xB+xE+xF≥5000xC +xD≤ 300xA ,xB,xC,xD,xE,xF≥ 0表8债券投资组合问题总结一般模型：用xi表示投资在第i只企业债券资金额，这i种债券当前收益率分别为ai，总资金额为A，则投资选择p=a1x1+a2x2+…+anxnx1+ x2+…+xn=Axi≥0（四）体育上的应用在体育中,如何合理安排比赛项目,参赛人员才能达到最好效果非常重要,这就需要用线性规划来准确计算,找出安排的最优方案.1.合理安排比赛问题⑴有16名运动员参加8个项目的游泳比赛,已知运动员号码及参加比赛项目如下表所示(表中*号表示参加项目),为使参加多项比赛的运动员恢复体力,要求比赛顺序安排保证每个运动员不连续参加两项比赛,问如何安排才能作到这一点.1 2 3 4 5 6 7 8解:将每个项目用一个点表示,同一运动员参加比赛项目的点用边相连,安排比赛顺序时作到相邻点的项目间隔开,安排顺序上可以有多个方案,如下列顺序就是满足题意要求的一个方案:①100米仰泳②200米蛙泳③200米混合接力④100米自由泳⑤400米混合接力⑥100米蛙泳⑦100米蝶泳⑧200米自由泳2.选拔选手问题⑹54718263某市游泳队有4名运动员甲,乙,丙,丁,他们的100米自由泳, 蛙泳,蝶泳,仰泳成绩如下表,现要组成一个4×100米混合泳接力队,问应如何指派才能使总成绩最好?表10解:设该问题的效率矩阵为C,作变换最后可令x13=1,x22=1,x31=1,x44=1,其余决策变量取值为0,即指派甲游蝶泳,乙游蛙泳, 丙游自由泳, 丁游仰泳,这是最优分配方案,此时总成绩为minZ=61〞+69〞+57〞1+62〞=249〞1=4ˊ9〞1（五）旅行上的问题一个人要想旅行必须作好出发前的准备,才不会有危险,用线性规划的方法准确计算相关问题是必须的.旅行背包问题 (3)登山队员,他需要携带的物品有:食品,氧气,冰镐,绳索,帐篷,照相器材,通信器材等,每种物品的重量及重要性系数见表11登山队员可携带的最大量为25kg,试选择该队员所应携带的物品.表11解：若xi =1表示应携带物品i;若xi=0表示该队员不应携带物品I,因此模型可表达为:maxZ=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7s.t. 5x1+5x2+2x3+6x4+12x5+2x6+4x7≤25xi=1或 0, i=1,2,3,4,5,6,7解得最优解: xi =1≠ (i=1,2,3,4,5,6,7)，x5=0,背包重量Z*=24kg 总结一般模型：旅行需要携带m件物品，每件物品重量a1, a2,…, am,重要系数为b1,b2，…,bm，可携带最大量为n，则队员应携带的物品怎样安排最合理？解：根据题意：minZ= b1x1+ b2x2+…+ bmxma1x1+ a2x2+…+ amxm≤nxi≥0（六）航空上的问题航运往往需要合理安排时间,航班,才会使航运正常运作,这就需要用线性规划来准确计算解决实际问题.航空时间安排问题⑴某航空公司经营A,B,C三个城市之间的航线,这些航线每天班机起飞与到达时间如下表表12设飞机在机场停留的损失费用大致与停留时间的平方成正比,又每架飞机从降落到下班起飞至少需2小时准备时间,试决定一个使停留费用损失为最小的飞行方案。