东联现代中学２014-2015学年第一学期高二年级期末考试文科数学【试卷满分:１5０分，考试时间:1２０分钟】一、选择题:本大题共1２小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1、抛物线x y 162=的焦点坐标为（ )A ． )4,0(- Ｂ. )0,4( C. )4,0( D. )0,4(-2．在ABC ∆中,“3π=A ”是“1cos 2A =”的（ ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为（ )A. B ． C. Ｄ. ４、ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若A bccos <，则ABC ∆为 （ ）A 、等边三角形B 、锐角三角形 Ｃ、直角三角形 Ｄ、钝角三角形5．函数ｆ（x )=ｘ-ln x 的递增区间为（ )A ．(－∞，１) ﻩB.(0,1) C.（１，＋∞) D.(0，+∞) 6. 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图 所示,那么函数()f x 的图象最有可能的是( ）220x y -+=22221(0)x y a b a b +=>>5512255237．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ,则24a S 的值为( ) (A ）154 ﻩ (B)152ﻩ ﻩ(C)74 （D ）728．已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =-的最小值是（ ）(Ａ）5 （B ）52 （Ｃ)5- (D ）52- 9．已知12(1,0),(1,0)F F -是椭圆的两个焦点，过1F 的直线l 交椭圆于,M N 两点,若2MF N ∆的周长为8，则椭圆方程为（ ）(A ）13422=+y x (B ）13422=+x y(C ）1151622=+y x (Ｄ）1151622=+x y １0、探照灯反射镜的轴截面是抛物线)0(22>=x px y 的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆的直径为６0cm,灯深４0cm ，则抛物线的焦点坐标为( )Ａ、⎪⎭⎫ ⎝⎛0,245 B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛0,445 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛0,845 Ｄ、⎪⎭⎫⎝⎛0,164511、双曲线C 的左右焦点分别为21,F F ，且2F 恰好为抛物线x y 42=的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若21F AF ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为 ( ）A 、2 Ｂ、21+ Ｃ、31+ D 、32+1２、如图所示曲线是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则=+2221x x （ ）A 、98B 、910 Ｃ、916 D 、45二、填空题:本大题共４小题,每小题5分,共２０分．１3、若命题 "01,":0200<+-∈∃x x R x p ,则p ⌝为___________＿___＿_＿__；．14．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，266a a +=，则=7S .１5．曲线ln y x x =+在点(1,1)处的切线方程为 ．16. 过点)3,22(的双曲线C 的渐近线方程为,23x y ±=P 为双曲线C 右支上一点，F 为双曲线C 的左焦点，点),3,0(A 则PF PA +的最小值为 . 三.解答题：本大题共6小题,共７0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分１0分）等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知10203050a a ==，.（１） 求通项n a ；（2）若242n S =,求n .18．（本题满分12分）已知a ，b ,c 分别为△AB Ｃ三个内角Ａ，B ,C 的对边,A 为B ,C 的等差中项. （Ⅰ)求Ａ；(Ⅱ)若a ＝２,△ABC 的面积为错误!,求b ,c 的值. 19．(本题满分1２分)若不等式()()222240a x a x -+--<对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。

20.（本题满分12分）设a 为实数，函数ｆ(x )=x 3－x 2－x ＋a ．(１）求f (x ）的极值；(2）当ａ在什么范围内取值时,曲线y =f （x )与x 轴有三个交点？ 21.(本题满分12分）已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ,对称轴为x 轴,焦点为F ,抛物线上一点A 的横坐标为2，且16=⋅OA FA . (Ⅰ）求抛物线的方程;（Ⅱ)过点)0,8(M 作直线l 交抛物线于B ，C 两点，求证：OC OB ⊥ .22．（本题满分１2分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(２，1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠,l 交椭圆于A 、B 两个不同点. (１）求椭圆的方程; （2)求m 的取值范围；（3)求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.东联现代中学201４-2015学年第一学期高二年级期末考试文科数学第Ⅰ卷（选择题共６０ 分）一、选择题(每小题只有一个正确选项,每小题5分,共１2小题，共60分)第I Ｉ卷(非选择题共9０ 分）二、填空题 （本题共4小题,每小题５分,共20分。

把答案填在题中的横线上.)１３.2,10.x R x x ∀∈-+≥；14 21 . 15.21y x =-；1６. 8三、解答题（共６小题,满分7０分）14．2１;１5．12-=x y ;16.8.17.解:设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . (1)∵101930,a a d =+=2011950,a a d =+= ……………４分 解得112,a =2,d =故()()111212210,n a a n d n n =+-=+-•=+…………6分(2)由()112n n n ds na -=+＝２４2，把112,a =2,d =代入上式，解之得:11n =或22n =-(舍)故所求11n =…………１０分.18..解：（Ⅰ)∵A 为B ,C 的等差中项， 2A B C =+， ２分ﻩ∵A B C π++=,∴Ａ=错误!. ···································································· 4分 (Ⅱ)△A ＢC 的面积S ＝错误!ｂc sin Ａ＝错误!,故b ｃ=4. ····································· 6分 而ａ2＝b ２＋c ２－2b ｃcos A ,故b 2＋ｃ２＝8.ﻩ８分 解得b ＝ｃ=2．ﻩ1２分1９.解：因为2a =时,原不等式为40-<,所以2a =时恒成立 ……………4分 当2a ≠时,由题意得{20,0,a -<∆< ……………６分即()()(){22424240,a a a <----<……………８分 解得22a -<<……………１０分 综上两种情况可知：22a -<≤。

……………１２分２0.解： (1)f ′(x ）=3x 2-2x －１． ……1分 令ｆ′（x )=０,则x =－＼f(1,3）或x =1． ……2分当ｘ变化时f ′(x )、f （ｘ）变化情况如下表:f (x ）极大值极小值………………………………………………６分所以f (ｘ)的极大值是⎪⎭⎫ ⎝⎛-31f =错误!＋a ,极小值是ｆ(１)＝a -1. …………………8分21、(满分12分）解:(Ⅰ）由题设抛物线的方程为:22y px =)0(>p ，则点F 的坐标为(,0)2p,点A 的一个坐标为(2,2)p , ······································ 2分 ∵16=⋅OA FA ，∴(2,22162-=pp p ,ﻩ4分∴4416p p -+=，∴4p =,∴28y x =.ﻩ6分 （Ⅱ)设B 、C 两点坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ,法一：因为直线当l 的斜率不为0,设直线当l 的方程为8x ky =+方程组28,8y x x ky ⎧=⎨=+⎩得28640y ky --=，12128,64y y k y y +==-因为1122(,),(,),OB x y OC x y ==所以12121212(8)(8)⋅=+=+++OB OC x x y y ky ky y y21212(1)8()64k y y ky y y =++++=0, 所以OC OB ⊥．法二：①当l 的斜率不存在时，l 的方程为8=x ,此时),8,8(),8,8(-C B即),8,8(),8,8(-==OC OB 有,06464=-=⋅OC OB 所以OC OB ⊥.…… 8分 ② 当l 的斜率存在时,设l 的方程为).8(-=x k y方程组⎩⎨⎧-==),8(,82x k y x y 得.0648,064)816(22222=--=++-k y ky k x k x k所以,64,642121-==y y x x 0因为1122(,),(,),OB x y OC x y == 所以,064642121=-=+=⋅y y x x OC OB 所以OC OB ⊥.由①②得OC OB ⊥. (2)22.(12分）解：(１）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a xﻩ则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b ab a 解得ﻩ∴椭圆方程12822=+y x …………4分 （2)∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m 又21=OM K ∴l 的方程为：m x y +=21由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ∵直线ｌ与椭圆交于Ａ、Ｂ两个不同点，,0)42(4)2(22>--=∆∴m m ∴m 的取值范围是}022|{≠<<-m m m 且……………8分(3)设直线MA 、MB 的斜率分别为ｋ1，k 2,只需证明k 1+k ２＝0即可…………９分ﻩ设21,21),,(),,(2221112211--=--=x y k x y k y x B y x A 则 ﻩ042222=-++m mx x 由 可得42,222121-=-=+m x x m x x ……………10分 ﻩ而)2)(2()2)(1()2)(1(21,21211221221121----+--=--+--=+x x x y x y x y x y k k)2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m xﻩ0)2)(2(4442422122=--+-+--=x x m m m m ﻩ∴k 1＋ｋ2=0故直线M Ａ、ＭB 与x 轴始终围成一个等腰三角形 (2)。