安庆一中2007——2008学年度第一学期高二（文科）
数学期末考试卷
一、 选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、已知
()ln f x x =，则()f e '的值为（ ）
A ．1
B ．-1
C ．e
D ．1
e
2、设命题
p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断
命题“p ⌝”、“q ⌝”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜2
2
2b a +”的 ( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4、物体的运动位移方程是S =10t －t 2 (S 的单位：m ； t 的单位：s), 则物体在t =2s 的速度是 ( ) A ．2 m/s B ．4 m/s C ．6 m/s D ．8 m/s
5、椭圆14
2
2=+
y m x 的焦距为2，则m 的值等于 （ ）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8
6、抛物线2
y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ）
A ．
1716 B ．1516 C ．78
D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为
（ ）
或
5
4
C.
或5
3
8、若不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ≤1 B ．a ≤3 C ．a ≥1 D ．a ≥3 9、()()()
等于则可导在设x
x x f x x f x x f x 3lim ,000
0--+→（ ）
A ．()02x f '
B ．()0x f '
C ．()03x f '
D ．()04x f '
10、已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．无法确定
11、已知P 是椭圆
19
252
2=+y x 上的一点，O 是坐标原点，F 是椭圆的左焦点且),(2
1
OF OP OQ +=
4||=OQ ，则点P 到该椭圆左准线的距离为（ ）
.4 C D.
2
5 安庆一中2007——2008学年度第一学期高二（文科）
数学期末考试卷
一、 选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分）
二、 填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
12、命题：01,2
=+-∈∃x x R x 的否定是
13、若双曲线 4422
=-y x 的左、右焦点是1F 、2F ，过1F 的直线交左支于A 、B 两点，若|AB|=5，
则△AF 2B 的周长是 14、写出导函数是)(x f '=x +
x
1
的一个函数为 . 15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k +=，则动点P 的轨迹为椭圆；
②双曲线
221259x y -=与椭圆2
2135x y +=有相同的焦点； ③方程02522
=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为5
4
的点的轨迹方程为
221169x y -=． 其中真命题的序号为 _______．
三、 解答题（本大题共6小题，共55分）
16、（本题满分8分）已知命题p ：方程
11
22
2=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线152
2=-m
x y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围． 17、（本题满分8分）设0≠t ，点P （t ，0）是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个
公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线。
试用t 分别表示a ，b ，c 。
18、（本题满分8分）
（1）已知双曲线的一条渐近线方程是x y 2
3
-
=，焦距为132，求此双曲线的标准方程； （2）求以双曲线19
162
2=-x y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程。
19、（本题满分9分）双曲线22
221x y a b
-= (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线
l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥4
5
c.求双曲线的离心率e 的取值范围.
20、（本题满分10分）如图所示，在直角梯形ABCD 中，|AD |＝3，|AB |＝4，|BC |＝ 3 ，曲线段DE
上任一点到A 、B 两点的距离之和都相等．
（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE 的方程； （2）过C 能否作一条直线与曲线段DE 相交，且所
得弦以C 为中点，如果能，求该弦所在的直线 的方程；若不能，说明理由．
21、（本题满分12分）若直线l ：0=++c my x 与抛物线x y 22
=交于A 、B 两点，O 点是坐标原点。
(1)当m =－1,c =－2时，求证：OA ⊥OB ；
(2)若OA ⊥OB ，求证：直线l 恒过定点；并求出这个定点坐标。
(3)当OA ⊥OB 时，试问△OAB 的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。
高二数学（文科）参考答案：
1、D
2、C
3、A
4、C
5、C
6、B
7、B
8、D
9、D 10、A 11、D
12、01,2
≠+-∈∀x x R x 13、18 14、答案不唯一，如x x x f ln 2
1)(2
+=
15、②③ 16、p :0<m <
31 q :0< m <15 p 真q 假，则空集；p 假q 真，则153
1
<≤m 故m 的取值范围为153
1
<≤m
17、因为函数)(x f ，)(x g 的图象都过点（t ，0），所以0)(=t f ， 即03=+at t .因为,0≠t 所以2
t a -=. 又因为)(x f ，)(x g 在点（t ，0）处有相同的切线，所以).()(t g t f '=' 而.23,2)(,3)(2
2
bt a t bx x g a x x f =+='+='所以
将2
t a -=代入上式得.t b
= 因此.3t ab c -==故2t a -=，t b =，.3t c -=
18、（1）
1942
2=-y x 或14922=-x y ；（2）125
922=+y x . 19、:直线l 的方程为bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l 的距离d 1 =
2
2
)1(b
a a
b +-.
同理得到点(-1,0)到直线l 的距离d 2 =
2
2
)1(b
a a
b ++.
s= d 1 +d 2=
c
ab
b a ab 222
2=
+.由s ≥54c,得
c c ab 542≥,即22225c a c a ≥-.
于是得22215
e e ≥-.即4e 4-25e 2+25≤0.解不等式,得4
5
≤e 2≤5.由于e>1>0,所以e 的取值范围是
52
5
≤≤e . 20、（1）以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系，
则A （－2，0），B （2，0），C （2， 3 ），D （－2，3）． 依题意，曲线段DE 是以A 、B 为焦点的椭圆的一部分．
∴所求方程为
)320,42(112
162
2≤≤≤≤-=+y x y x （2）设这样的弦存在，其方程为：
得2
2
2
2
(34)16)16360k x k x k ++-+--= 设弦的端点为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由
∴弦MN 所在直线方程为y x =+验证得知，
这时(0,(4,0)M N 适合条件．
故这样的直线存在，其方程为y x =+ 21、解：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由⎩⎨
⎧==++
202
x y c my x 得0222
=++c my y 可知y 1+y 2=－2m y 1y 2=2c ∴x 1+x 2=2m 2—2c x 1x 2= c 2, (1) 当m =－1,c =－2时，x 1x 2 +y 1y 2=0 所以OA ⊥OB.
(2) 当OA ⊥OB 时，x 1x 2 +y 1y 2=0 于是c 2+2c=0 ∴c=－2(c=0不合题意),此时，直线l ：0
2=-+my x 过定点(2,0).
(3) 由题意AB 的中点D(就是△OAB 外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。
),(2m c m D --而(m 2—c+
21)2－[(m 2—c)2+m 2 ]=c -4
1
由(2)知c=－2 ∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB 的外接圆与抛物线的准线相离。