第三章 导数及其应用 学案13 导数的概念及运算导学目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数．熟记基本初等函数的导数公式(c ，x m (m 为有理数)，sin x ，cos x ，e x ，a x，ln x ，log a x 的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b ))的导数．自主梳理1．函数的平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商________________________＝ΔyΔx称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率______________通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即______________________________．(2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的____________．导函数y ＝f ′(x )的值域即为__________________． 3．函数f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作____________．4．基本初等函数的导数公式表原函数 导函数 f (x )＝C f ′(x )＝______ f (x )＝x α (α∈Q *) f ′(x )＝______ (α∈Q *) F (x )＝sin x f ′(x )＝__________ F (x )＝cos x f ′(x )＝____________f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝____________(a >0，a ≠1)f (x )＝e xf ′(x )＝________f (x )＝log a x (a >0，a ≠1，且x >0) f ′(x )＝__________(a >0，a ≠1，且x >0) f (x )＝ln x f ′(x )＝__________5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝__________； (2)[f (x )g (x )]′＝______________；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝______________ [g (x )≠0]．6．复合函数的求导法则：设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u x ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 处的对应点u 处有导数y u ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f (φ(x ))在点x 处有导数，且y ′x ＝y ′u ·u ′x ，或写作f ′x (φ(x ))＝f ′(u )φ′(x )．自我检测1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则ΔyΔx为 ( )A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx－2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx2．设y ＝x 2·e x，则y ′等于 ( )A ．x 2e x ＋2xB ．2x e xC ．(2x ＋x 2)e xD ．(x ＋x 2)·e x3．(2010·全国Ⅱ)若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于 ( )A ．64B ．32C ．16D ．84．(2011·临汾模拟)若函数f (x )＝e x＋a e －x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标是( )A ．－ln 22B ．－ln 2C.ln 22D ．ln 2 5．(2009·湖北)已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)＝________.探究点一 利用导数的定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数的导数：(1)f (x )＝1x 在x ＝1处的导数；(2)f (x )＝1x ＋2.变式迁移1 求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数．探究点二 导数的运算例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ；(2)y ＝ln xx ；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝tan x .变式迁移2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ；(3)y ＝ln xx 2＋1.探究点三 求复合函数的导数 例3 (2011·莆田模拟)求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋sin x )2；(2)y ＝11＋x 2；(3)y ＝ln x 2＋1；(4)y ＝x e 1－cos x .变式迁移3 求下列函数的导数：(1)y ＝1(1－3x )4；(2)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (3)y ＝x 1＋x 2.探究点四 导数的几何意义例4 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．变式迁移4 求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧． 2．曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P (x 0，y 0)是切点的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (2)当点P (x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 3．求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知函数f (x )＝2ln(3x )＋8x ，则0lim →∆xf (1－2Δx )－f (1)Δx 的值为 ( )A ．10B ．－10C ．－20D ．20 2．(2011·温州调研)如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是 ( )A.⎝⎛⎭⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(2,3)3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 ( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝04．(2010·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎭⎫0，π4B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 5．(2011·珠海模拟)在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x 1，x 2 (x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|恒成立”的只有 ( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝|x |x 2题号 1 2 3 4 56．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是__________．7．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．8．设点P 是曲线y ＝x 33－x 2－3x －3上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是__________________．三、解答题(共38分)9．(12分)求下列函数在x ＝x 0处的导数．(1)f (x )＝e x 1－x ＋e x1＋x ，x 0＝2；(2)f (x )＝x －x 3＋x 2ln xx 2，x 0＝1.10．(12分)(2011·保定模拟)有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度．11．(14分)(2011·平顶山模拟)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．自主梳理1.00()()f x x f x x +-△△2.（1）0lim x y x →△△△ 00'()lim x yf x x→=△△△ (2)切线的斜率 切线斜率的取值范围3.y ′或f ′(x)4．0 αx α－1 cos x －sin x a x ln a e x1x ln a 1x5．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2自我检测1．C 2.C 3.A 4.D 5．1解析 ∵f ′(x )＝－f ′(π4)sin x ＋cos x ，∴f ′(π4)＝2－1.∴f (π4)＝1.课堂活动区例1 解题导引 (1)用导数定义求函数导数必须把分式ΔyΔx 中的分母Δx 这一因式约掉才可能求出极限，所以目标就是分子中出现Δx ，从而分子分母相约分．(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是处理根式问题常用的方法，有时用“分母有理化”，有时用“分子有理化”．(3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别：0000(()()'()limx f x x f x f x x→+-=△△△；0()()'()limx f x x f x f x x →+-=△△△； (4)用导数的定义求导的步骤为：①求函数的增量Δy ；②求平均变化率ΔyΔx ；③化简取极限．解 (1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx11x -+△111(11)x x x x x x +=++++△△△△△△△ (11)x x x +++△△△△ 11x x+++△△，∴0'(1)lim lim 11x x y f x x x→→==+++△△△△△△＝－12.(2)Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝1122x x x x-+++△△＝(x ＋2)－(x ＋2＋Δx )Δx (x ＋2)(x ＋2＋Δx )＝－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )，∴001'()lim lim (2)(2)x x y f x x x x x →→-==+++△△△△△＝－1(x ＋2)2.变式迁移1 解 ∵Δy ＝(x 0＋Δx )2＋1－x 20＋1＝(x 0＋Δx )2＋1－x 20－1(x 0＋Δx )2＋1＋x 20＋1＝2x 0Δx ＋(Δx )2(x 0＋Δx )2＋1＋x 20＋1，∴Δy Δx ＝2x 0＋Δx (x 0＋Δx )2＋1＋x 20＋1.∴02200()11yx x x x =++++△△△△ ∴y '=2200lim lim()11x x y x x x x →→=++++△△△△△△ ＝2x 2x 2＋1＝x x 2＋1.例2 解题导引 求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形．解 (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x＝1x－x ＝1122x x --，∴y ′＝1122()'()'xx --＝31221122x x ----.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝221ln 1ln x xxx x x --=. (3)y ′＝x ′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)． (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x.变式迁移2 解 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e)′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)(3e)x －2x ln 2.(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x (x 2＋1)－ln x ·2x (x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2ln x x (x 2＋1)2.例3 解题导引 (1)求复合函数导数的思路流程为： 分解复合关系→分解复合关系→分层求导(2)由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．解 (1)y ′＝[(1＋sin x )2]′ ＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x ＝2cos x ＋sin 2x .(2)y ′＝122(1)x -⎡⎤+⎢⎥⎣⎦′322232222(1)(1)'(1)(1)1x x x x x x --=++=-+=++(3)y ′＝(ln x 2＋1)′＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12(x 2＋1)－12·(x 2＋1)′＝x x 2＋1. 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos (4)'()'()'[(1cos )']sin (1sin ).x x x x x xxx y xe e x e e x e x exexx x e --------==+=+-=+=+变式迁移3 解 (1)设u ＝1－3x ，y ＝u －4. 则y x ′＝y u ′·u x ′＝－4u －5·(－3)＝12(1－3x )5. (2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (3)y ′＝(x1＋x 2)′＝x ′·1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x 21＋x 2.例4 解题导引 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异；过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可． (3)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决． 解 (1)∵y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为 y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1， 故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1,1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.变式迁移4 解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①②得x 0＝32，k ＝－14.∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .综上，曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x .课后练习区1．C 2.C 3.A 4.D 5.A 6．1秒或2秒末 7. 28．12x ＋3y ＋8＝09．解 (1)∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1－x ′＝(2e x )′(1－x )－2e x (1－x )′(1－x )2＝2(2－x )e x(1－x )2，∴f ′(2)＝0.………………………………………………………………(6分) (2)∵f ′(x )＝(x －32)′－x ′＋(ln x )′＝－32x －52－1＋1x ，∴f ′(1)＝－32.……………………………………………………(12分)10．解 设经时间t 秒梯子上端下滑s 米， 则s ＝5－25－9t 2，当下端移开1.4 m 时，……………………………………………………………………(3分) t 0＝1.43＝715，……………………………………………………………………………(5分)又s ′＝－12(25－9t 2)－12·(－9·2t )＝9t ·125－9t2，…………………………………………………………………………(10分)所以s ′(t 0)＝9×715·125－9×⎝⎛⎭⎫7152＝0.875 (m /s )．故所求的梯子上端下滑的速度为0.875 m /s .……………………………………………(12分)11．解 (1)因为f ′(x )＝x －ax (x >0)，……………………………………………………(2分)又f(x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln 2＝2＋b ，2－a 2＝1，……………………………………………………………（5分）解得a ＝2，b ＝－2ln 2.……………………………………………………………………(7分) (2)若函数f (x)在(1，＋∞)上为增函数，则f ′(x )＝x －ax ≥0在(1，＋∞)上恒成立，……………………………………………(10分)即a ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立．所以有a ≤1.……………………………………………………………………………(14分)。