图a所示刚架在荷载F作用下发生虚线所示变形。略去轴向变形，可将 结构分解如图b、c。
思路：将结点1的角位移Z1 作为基本未知量，求 出Z1，进而求出各杆 内力。
需解决的问题：（1）用力法算出单跨超静定梁在各种外因作用 下的内力 （2）确定哪些位移作为基本未知量 （3）如何求出这些位移
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
①把结构拆成杆件 （物理条件） ②把杆件装成结构 （变形协调、平衡）
应用位移法求解刚架需要解决三个问题：
①单跨超静定梁的内力分析； ②位移法基本未知量的确定； ③位移法方程的建立与求解。
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
图a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1 的转角Z1，结点1、2的水平位移Z2。
基本结构在荷载和Z1共同作用下的体系称为基本体系，如图b。
附加刚臂上的反力矩R1=R11（Z1引起的）+R1P（荷载引起的）
原结构没有附加刚臂，所以：R1=R11+R1P=0
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
设r11表示Z1=1引起的附加刚臂上的反力矩，所以：R11=r11Z1。 可得 系数
r11Z1 R1P 0
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
令
EI —杆件的线刚度 i l
MAB=X1，MBA=X2，可得
6i M AB 4i A 2i B ΔAB l 6i M BA 4i B 2i A ΔAB l
F F 固端弯矩 M AB ：单跨梁在荷载作用及温度变化时产生的 、M BA 杆端弯矩。
当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时， 其杆端弯矩为
6i F M AB 4i A 2i B ΔAB M AB l 6i F M BA 4i B 2i A ΔAB M BA l
转角位移方程
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
典型方程
主系数：主斜线上的系数rii，或称为主反力，恒为正值。 副系数：其他系数rij，或称为副反力，可为正、负或零。 rij= rji。 每个系数都是单位位移引起的反力或反力矩→结构的刚度系数； 位移法典型方程→结构的刚度方程；位移法→刚度法。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
例8-1 试用位移法求图a所示阶梯形变截面梁的弯矩图。E=常数。
对于一端固定另一端铰支的等截面梁，设B端为铰支，则有
M BA 4i B 2i A
6i F ΔAB M BA 0 l
1 3 1 F B ( A ΔAB M BA ) 2 l 2i
B 不是独立的
3i F＇ ΔAB M AB l 1 F F＇ F M AB M AB M BA 2 M AB 3i A
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
确定独立的结点线位移另种一方法
把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点→铰结体系，如图b。 此铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。 此铰结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几何不变， 添加的链杆数目既是原结构独立的结点线位移数目。如图b，加一个水 平支座链杆，体系成为几何不变的。
第八章 位 移 法
§8-1 概述 §8-2 等截面直杆的转角位移方程 §8-3 位移法的基本未知量和基本结构 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
§8-6 对称性的利用 §8-7 有侧移的斜柱刚架 §8-8 温度变化时的计算
§8-1 概 述
位移法：先确定某些位移，再推求内力。
联系得到 基本结构。 （2）建立位移法的典型方程：各附加联系上的反力矩或反力均 应等于零。 （3）绘弯矩图：基本结构在各单位结点位移和外因作用下，由 平衡条件求系数和自由项。 （4）解典型方程：求出作为基本未知量的各结点位移。
（5）绘制最后弯矩图：用叠加法。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
对于具有n个独立结点位移的结构，可建立n个方程如下
杆端弯矩
杆端剪力
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
基本未知量：结点的角位移、线位移。
1、结点的角位移：每一个刚结点有一个独立的角位移未知量。图 a所示刚架 独立结点角位移数目为2。 2、结点的线位移：略去受弯杆件的轴向变形，设弯矩变形是微小的。如图 a， 4、5、6点不动，三根柱子长度不变，故1、2、3点均无竖 向位移。两根横梁长度不变。因而，1、2、3点有相同的水 平位移。
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
附加刚臂： 阻止刚结点的转动，但不能阻止结点的移动。 附加支座链杆：阻止结点的线位移。
图a所示刚架，在刚结点1、3处分别加上刚臂，在结点3处加上一根
水平支座链杆，则原结构的每根杆件都成为单跨超静定梁。
这个单跨超静定梁的组合体称为位移法的基本结构。如图c。
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
绘弯矩图c、d。取结点C为隔离体。
r11 12i
代入典型方程解得
R1 6i
Z1 R1 r11 2
由
M M1Z1 M
位移法要点：
1）位移法的基本未知量是结点位移； 2）位移法以单根杆件为计算单元； 3）根据平衡条件建立以结点位移为基本未知量的基本方程。 4）先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结构。这就将复杂结构 的计算问题转换为简单的杆件分析与综合问题。 位移法计算刚架时的特点： 1）基本未知量是结点位移； 2）计算单元是一组单跨超静定梁； 3）位移法方程是根据平衡条件建立的。
解：结构的基本未知量：结点B的角位移Z1、 竖向位移Z2，基本体系如图b。
r11 Z1 r12 Z 2 R1P 0 典型方程为 r21 Z1 r22 Z 2 R2P 0
设 i
EI 则iAB=3i，iBC=i l
绘弯矩图c、d、e。 取结点B处的隔离体。
r11 16i
12i r21 l
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
4812i l
R1P 0
R2P F
代入典型方程解得
Fl Fl 2 Z1 ， Z2 52i 39i
由
M M1Z1 M 2 Z 2 M P
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
一个附加联系上的附加反力矩和附加反力都应等于零。
原结构的静力平衡条件
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
为求系数和自由项，绘弯矩图如图a、b、c。
r11 7i
6i r12 l
Fl R1P 8
6i r21 l
15i r22 2 l
F R2 P 2
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
§8-6 对称性的利用
例8-3 试计算图a所示弹性支承连续梁，弹性支座刚度 k EI 3 10m 梁的EI=常数。
解：这是一个对称结构承受正对称荷载 取一半结构如图b，基本体系如图c
r11Z1 r12 Z 2 R1P 0 典型方程为 r21Z1 r22 Z 2 R2 P 0
图b利用对称性简化为图d。 图c利用对称性简化为图e。
用位移法求解
用力法求解
§8-6 对称性的利用
图a所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正（反）对称 荷载作用下，基本未知量数目是不同的。如图b、c。
荷 载 位移法基本未知量数目 力法基本未知量数目 6 正对称 3（采用） 6 反对称 3（采用）
自由项 作
位移法基本方程
Z1 1 及荷载作用下的弯矩图，如图a、b。
由a图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得r11=3i+3i=6i 由b图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得R1P=-24kN· m
i
EI 8m
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
将 r11和R1P代入方程求出
R1P 4kN m Z1 r11 i
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
由平衡条件可得
6i Fl 7iZ1 Z 2 0 l 8 6i 15i F Z1 2 Z 2 0 l l 2
Z1、Z2
各杆端最后弯矩由转角位移方程求得。
§8-6 对称性的利用
图a所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正对称荷载作 用下只有正对称的基本未知量，如图b。在反对称荷载作用下只有反对称的基 本未知量，如图c。
例8-2 求图a所示刚架的支座A产生转角 ，支座B产生竖向位移 3 Δ l 。试用位移法绘其弯矩图，E为常数。
4
EI 设 i l
i AC i
则
iBC
8i 3
解：刚架的基本未知量：结点C的角位移Z1，基本体系如图b。
典型方程为
r11Z1 R1 0
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
将系数和自由项代入典型方程并求解，可得
9 Fl 22 Fl 2 Z1 ， Z2 552 i 552 i
结构的最后弯矩图可由叠加法绘制： M
M1Z1 M 2 Z 2 M P
内力图校核同力法，略。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
位移法计算步骤
（1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加
结构的最后弯矩图由叠加法绘制
M Z1M1 M P
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
a图所示刚架，13杆和24杆有侧移产生，称为有侧移结构。基本体系如图b。
由图c、d、e可得
R1 R11 R12 R1P 0 R2 R21 R22 R2P 0
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
r11、r12分别表示Z1=1、Z2=1引起的刚臂上的反力矩。 r21、r22分别表示Z1=1、Z2=1引起的链杆上的反力。可得