由 M B = 0 同理可得，
FQAB 6i 6i 12i F A B 2 FQAB l l l
结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
等截面直杆的转角位移方程：

一端固端一端铰支的等截面直杆：
B端角位移不独立。
C
B A
AB：一端固定一端定向滑动 BC：一端固定一端定向滑动 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D B A
AB：两端固定 BC：一端固定一端定向滑动 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D B A
AB：两端固定 BC：两端固定 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D EI=c B A
AB：两端固定 BC：一端固定一端定向滑动 BD：两端固定
R1 = 0 R2 = 0 R3 = 0
R11 Z1
R21
R31
R12
R22 Z2
R32
R13
R23
R1P R33
R2P
P2
R3P
D EI=c A
E
F
D EI=c
E
F
D EI=c
E
F
P1
D EI=c A
E
F
B
C
A
B
C
A
B
C
B
C
(a)基本结构只发生 Z1
(b)基本结构只发生 Z 2
EI 1
B’ O
B
A’
EI
EI
EI
A EI
EI 1
不考虑杆件伸缩变形，AB 不能转动，无结点角位移
结构力学 第七章 位移法
刚杆AB绕O刚体转动，A、B结点转角相同， 1个结点角位移（且与结点线位移相关）
2015年9月12日星期六
§7-3 位移法基本未知量和基本结构
基本未知量数量的确定：
f A B D C
力法如何求解？ 缺点：基本未知量多（3个） 基本结构不唯一
如何画结构的变形？ 关键：B结点的转动 方向
若f求得，则AB、BC、BD三杆均为单跨超静定杆件， 内力可分别独立求出。
单跨超静定杆件的形式不外乎以下三种：⑴两端固端（如AB）；⑵一端固定另 一端铰支（如BC）；⑶一端固定另一端滑动支座（如BD）。有限种典型荷载作 用下的内力可用力法求出。故，可以作为位移法的基本结构。
由 M BA = 2iθ A + 4iθB - 6i 从而， M AB = 3iθ A FQAB FQAB

3i F + M AB l 3i 3i F = - θ A + 2 + FQAB l l 3i 3i F = - θ A + 2 + FQBA l l
Δ 1 3 Δ = 0 可得， θB = - θ A + l 2 2 l
§7-4 位移法原理与位移法方程
以图示结构为例，说明如何建立位移法典型方程。
P2
R1 Z1
D
P1
E
F
几个基本未知量？ D结点角位移
3个基本未知量 E结点角位移 DEF水平线位移
R2 Z2
P2
R3
D
P1
E
F
Z3
EI=c A B
原结构
EI=c A B
基本结构 叠加原理 分解
C
C
当基本结构承受 与原结构相同外 荷载，且发生相 同结点位移时， 与原结构等效。 此时，附加约束 上的约束力均为 零，即
基本未知量数量的确定：

最少基本未知量数量： 。 A. 1； B. 2； C. 3； D. 4 C B A EI=c D 基本结构
【选择题】图示结构有位移法基本未知量数量是
由于位移法基本结构不唯一， 所以基本未知量的数量也不唯一， 但最少基本未知量的数量是唯一 的。 建议尽可能按最少基本未知量计 算。 最少基本未知量数量：把原结构 转化为基本结构所必需的最少附 加约束数量。
两端固端梁：编号1、2、3（a = b =
一端固定一端定向滑动梁可视为两端固端梁的对称半结构。 位移法分析中要养成勤于作结构位移（变形）图的习惯，杆端弯矩只记大小，不记
正负，弯矩方向根据变形图判别。
牢记弯矩，不必记剪力，杆端剪力可根据杆端弯矩利用平衡条件计算。
注意：载常数计算时有外荷载作用，杆端内力应与外荷载共同平衡，由杆端弯 矩计算杆端剪力时万不可漏掉外荷载。
记基本结构只发生 1 时， 附加约束的约束力为 r11 ，则
基本结构只发生结点位移f，不 承受外荷载。

基本结构只承受外荷载，不发 生结点位移。

R1P 可通过基本结构的荷载弯矩 图 M P 求得。
结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-1 位移法的基本概念
【法二】通过附加约束，利用叠加原理间接建立B结点的力矩平衡方程

线位移数量的确定：

线位移数量就是确定铰接体系所有结点位置所需要的附加链杆数量。 除特别说明外，一般不考虑杆件轴向变形。 弯曲变形微小，构件受弯后长度不变。
【例】 EI=c
1个结点线位移
EI=c
2个结点线位移
结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-3 位移法基本未知量和基本结构
结构力学 第七章 位移法
基本结构 静定结构 单跨超静定杆
基本方程 几何方程 静力平衡方程
2015年9月12日星期六
多余约束力 结点位移
§7-1 位移法的基本概念
力法与位移法的区别：

在给定的外部因素的作用下结构真实的解答是唯一的。 力（反力、内力） 二者之间有着确定的关系，且一一对应，知其一 变位（变形、位移）
式中， i =
EI F F 称为杆件的线刚度；M AB 和M BA 称为固端弯矩， l
表示由荷载引起的杆端弯矩。
杆端剪力：可根据杆端弯矩利用平衡条件计算。
由 M A = 0 可得，FQBA = M AB + M BA + M Pq (A)
l l F F M AB M BA M Pq (A) 6i 6i 12i A B 2 l l l l 6i 6i 12i F A B 2 FQBA 固端剪力：杆件只承受跨内荷载时的杆端剪力。 l l l
结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-3 位移法基本未知量和基本结构
位移法基本未知量： 结点位移
结点角位移 结点线位移 相互独立 三类单跨超静定杆 静定结构
位移法基本结构： 形常数和载常数已知的结构 基本未知量与基本结构是一一对应的。 原结构
附加刚臂约束结点角位移 附加链杆约束结点线位移
结构力学 第七章 位移法 2015年9月12日星期六
§7-3 位移法基本未知量和基本结构
基本未知量数量的确定：

角位移数量的确定：

一般情况下（弹性杆件），角位移数量就是刚结点的数量。 【例】 EI=c EI=c EI2 EI=c
3个角位移
EI1
1个角位移
1个角位移

2个角位移
特殊情况：如结构中含有刚杆，必定存在相关位移。 B 【例】 A

真实解答中， 必知其二。

力法：先求力（未知内力或约束力），再计算相应位移。 位移法：先确定位移，再求内力。
位移法需要解决的问题：

解出单跨超静定梁在常见外部因素作用下的内力。 (§7-2的内容) —— 用于基本结构的内力分析，作基本结构的单位内力图和荷载内力图。进而计算方程的 系数项和自由项。 确定以哪些结点的哪些位移作为基本未知量。(§7-3的内容)
QBA
正杆端位移示意图

A
A
B
A
B
AB
结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
等截面直杆的转角位移方程：

推导方法：力法，推导过程略。 两端固端的等截面直杆：
杆端弯矩： M AB = 4iθ A + 2iθB - 6i
M BA Δ F + M AB l Δ F = 2iθ A + 4iθB - 6i + M BA l
2015年9月12日星期六
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
等截面直杆的形常数和载常数表及其应用：

形常数和载常数表：是位移法中作基本结构内力图的基础，详见Text Book P.187 表7－1。 应用要点：
要求熟练掌握的项：
l ）、4项； 2 l a = b = ）、10、13（b = 0 ）项。 一端固定一端铰支梁：编号7、8、9（ 2
第七章
Chapter 7
位移法
Displacement Method
同济大学土木工程学院
School of Civil Engineering,Tongji Univesity
2015年9月12日星期六
Contents
§7-1 位移法的基本概念 §7-2 等截面直杆的转角位移方程 §7-3 位移法基本未知量和基本结构 §7-4 位移法原理与位移法方程 §7-5 位移法解超静定结构 §7-6 对称性的利用 §7-7 广义荷载作用下的位移法计算

结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
几个概念：

可用于位移法基本结构的单跨超静定杆： 有几种基本形式? ⑴一端固定一端铰支 ⑵一端固定一端定向铰 ⑶两端固端 （一次超静定） （二次超静定） （三次超静定）