1 0
10
1 0 0
0
2
0
3 0 1
1 0 0
0 3
1 0
0 1
1 0 0
0 0
1 0
0 1
红色框的三
个矩阵与单 请
位矩阵有何 三
联系？
位 同
学
1 0 0
0
1
0
0 0 1
说 出 结 果
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初等矩阵
0 1 0
1 0
0 0
0 1
1 0 0
0
1
0
2
0
0
1
1 0 0
0 3
1 0
0 1
三个矩阵的特点：单位矩阵经过一次初等行变换而得到
定义2.14 将单位矩阵作一次初等行变换得到的矩阵，称 为初等矩阵
初等对换矩阵 初等倍乘矩阵 初等倍加矩阵
由单位矩阵第i,行j行乘对k得换加到得，到第记，j行作记得E作到i(Ek，i)j 记作Eij(k)
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课堂中段小结
1
1
40 1 0 初 等 行 变 换 0 1 0 4
2
1
2 1 00 0 1
0 0 13 1 1
2 2
2 1 1
A 1
4
2
1
3
1
1
2
2
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课堂小结
1．三种初等行变换 2．三类初等矩阵 3. 使用初等行变换求矩阵的逆
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作业
书P87 1（1）（3）（6）
6、从最后一列开始往第一列，把主对角线上方的 元素变为0
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初等矩阵的引入
为什么在初等行变换的过程中， 矩阵之间是用箭头连接呢？
0 1 00 2 0
10
0 0
1013
0 0
10
1
0
0
0 1 2 0
0
0
1
1 0 3
0 2 0
0 10
1 0 01 0 0
03
1 0
1003
矩阵的初等行变换与初等矩阵
初等行变换的背景
1801年德国数学家高斯把线性方程组的全部系数 作为一个整体
22x 33 y 44
x 22y 55
收获：线性方程组可以用矩阵来表示
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初等行变换的引入
将矩阵的两行对调
2 3 4
1
2
5
第1行 第2行
对调矩阵两行的变换 称为对换变换
两个方程对应也发生对调
A
1 3
0 0
0
1
的逆
解： 初等行变换法（软件显示）
检验：
1 03
0 1 0
100100
0 1 2 0
100100
1 0 0
0
0 10
1 2 0
1 0 3
0
0
1
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练习
0 1 2
练习
用初等行变化求矩阵
A
1 2
1 1
4 0
的逆
答案：
0 1 21 0 0
1 0 0 2 1 1
2x3y4 第2个方程
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初等行变换的引入
矩阵的第2行加上第1行乘以（-2）
1 2 5 第1行
02 37 4
第2行
矩阵某一行的倍数加到另一 行上的变换称为倍加变换
第二个方程对应也在等号两边 同时加上第一个方程的（-2）倍
21(2)
x2y5 第1个方程
3(2)(2)
45(2)
2x 7 3yy 4 第2个方程
初等行变换
初等矩阵
对换变换
初等对换矩阵
倍乘对换
初等倍乘矩阵
倍加变换
初等倍加矩阵
初等行变换中，两个矩阵之间之所以用箭头连 接，是因为两个矩阵之间相差了初等矩阵
矩阵的初等行变换可以解决什么问题呢？
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初等行变换的应用——求逆矩阵
回顾： 满 足 A B B A I 的 两 个 矩 阵 A , B 互 为 逆 矩 阵 其 中 BA1
因此有： A1AI
假设P t,P t1,,P 2,P 1都是初等矩阵，根据初等行变换的原理
A P t Pt1 P 2 P 1 I 结论：
初等行变换中省略的初等
A 1
矩阵的乘积就是逆矩阵
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用初等行变换法求逆矩阵
A I 初 等 行 变 换 IA 1
0 2 0
例1（续）：用初等行变换求矩阵
高斯（1777-1855）
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例题讲解
0 2 0
例1．运用初等行变换将矩阵 对换变换
A
1 3
0 0
0 1
转化成单位矩阵
解： 0
1
3
2 0 0
0
1
0 1
( 1) (2) 0 倍加变换 3
0 2 0
0 10
( 2)12
1 0
3
0 0 1
1I 0
10 00
0 1 0
0
0
1
倍乘变换
1 0 0
( 3) 3(1 )0 1 0 0 0 1
2x3y4 第1个方程
x2y5 第2个方程
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初等行变换的引入
将矩阵的第一行乘以2
12 24 5
2
3
4
第1行 第2行
矩阵某一行乘以一个常数的 变换称为倍乘变换
1注矩2意阵：数2倍乘2乘的变区5换别与2
第一个方程对应也在等号两边同乘以2
2x x 4 2y y 5第1个方程
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初等行变换的练习
0 1 2
练习．运用初等行变换将矩阵
A
1 2
1 1
4 0
转化成单位矩阵
1、把主对角线上第一个元素变为1 2、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为0 3、把主对角线上第二个元素变为1
4、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为0
5、如此类推，直至将主对角线最后一个元素变为1
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初等行变换
定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：
什
对换变换
将矩阵的某两行对换位置
么
是 非
倍乘变换
将矩阵的某一行遍乘一个非零常数k
奇
异
倍加变换 将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至
另一行
定理2.7 设方阵A经过若干次初等行变换后得到方阵B， 如果A是非奇异的，则B也是非奇异的。反之亦然。