高二数学复数复习
一、复数的基本概念
1、虚数单位的性质
i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②2
1i ；这样方程 21x 就有解了，解为x i 或x i
2、复数的概念 （1）定义：形如bi a +(R b a ∈,)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做 ，b 叫做 。
全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示
（2）分类：
例题：当实数m 为何值时，复数226(2)m m z m m i m
+-=+-为： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
二、复数相等
),,,(,R d c b a d b c a di c bi a ∈==⇔+=+
也就是说，两个复数相等，充要条件是
注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小
例题：已知21(3),,,x i y y i x y R -+=+-∈其中则x = ， y = ．
三、共轭复数
bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔，bi a z +=的共轭复数记作
四、复数的几何意义
1、复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做 ，y 轴叫做 。
显然，实轴上的点都表示实数；除了 外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2、复数的几何意义
复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→
),(R b a ∈是 关系
例题：复平面内)6,2(=→AB ，已知→→AB CD //，求→
CD 对应的复数。
3、复数的模：
向量→
OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =
若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示 之间的，即2212()()z z a c b d
例题：已知i z +=2，求i z +-1的值
五、复数的运算
（1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ?êR
①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±
②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2
221)()()()())(()()(d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++=
例题：（1）
)35()43i i --++（； （2）)45)(3-4i i --（； （3）i i 311++； （4）i
i i i +--13222-1
（2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意
义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.
例题：ABCD 是复平面内的平行四边形，,,A B C 三点对应的复数分别是i 31+，i -，i +2，则点D 对应的复数为
六、常用结论
（1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i =675i
（2）自己证明：i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-，1)2
321(3=±-i ， 【考点自测】1下列命题中正确的是（ ）
A ．任意两复数均不能比较大小
B ．复数z 是实数的充要条件是z z =
C ．复数z 是纯虚数的充要条件是实部为零
D ．1i +的共轭复数是1i -
2．复数z 满足45iz i =-(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 （ ）
A ．54i -
B ．54i -+
C ．54i +
D ．54i --
3．z=3i i
+，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A. 1 B. 一1 C. 3 D. -3
4．如果点()sin ,cos P θθ位于第四象限，那么角θ所在的象限是（ ）．
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
5．已知复数z 满足11z -=，则12z i --的最大值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6．的共轭复数是是虚数单位)(2i i -_____________ ．
7.在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是
8．已知复数()()21312i i z i
-++=-，若21z az b i ++=-，
（1）求z ； 2）求实数,a b 的值 .
9．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()2,1A -， (),3B a ，（ a R ∈）．
（Ⅰ）若12z z -=，求a 的值；
（Ⅱ）若复数12z z z =⋅对应的点在二、四象限的角平分线上，求a 的值．
10．已知z 是复数，2i
z +为实数（i 为虚数单位），且4i z z -=． （1）求复数z ； （2）若|i|5z m -<，求实数m 的取值范围．
11．已知复数z=a+bi(a>0,b>0)满足2z =2z 的虚部是2。
（1）求复数z ；
（2）设22
z z z z -，，在复平面上的对应点分别为A
B C ，，，求ABC △的面积。
12．已知复数i z 21-=（i 为虚数单位）
（Ⅰ）把复数z 的共轭复数记作z ，若i z z 341+=⋅，求复数1z ；
（Ⅱ）已知z 是关于x 的方程022=++q px x 的一个根，求实数p ，q 的值。