f1、f2的因果性对积分限的影响
• 卷积积分中积分限的确定是非常关键的。 • 系统的因果性或激励信号作用时间的局限性，卷积 积分限会有所变化。 •若t<0, f1(t)=0，
3
பைடு நூலகம்f1 t f 2 t f1 f 2 t d
0

•若t<0, f2(t)=0，
f ( t ) k ( t ) f k ( t )
•u(t)的卷积特性
f t ut f t d f d f d
t t t
Signals and Systems, Anhui University
0
t
t
d
t
t
e e d e e
t
t

t

t 0
0
ut
1 e
ut
Signals and Systems, Anhui University
例2 已知e( t ) e

t 2
u(t ) u(t 2)，求i(t )的零状态响应。
1
§2.６卷积
•卷积
•利用卷积积分求系统的零状态响应
•卷积图解说明 •卷积积分的几点认识
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一、卷积积分(Convolution)的定义
积分
2
f (t )


f1 f 2 t d
称为f1(t)与f2(t) 的卷积积分，记为 f (t ) f1 t f 2 t 令系统激励 e(t) = f1(t), 冲激响应h(t) = f2(t), 则
i、 j为整数； 取+，i 阶导； 取-， i 重积分
g ( n m ) (t ) f ( n ) (t ) h( m ) (t ) f ( m ) (t ) h( n ) (t )
微分n次， 积分m次
g(t ) f ( n ) (t ) h( n ) (t )
二、卷积的微分与积分
1.微分性质
f ( t ) h( t )
23
d df 2 (t ) df1 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) dt dt dt
证明：
d d f1 (t ) f 2 (t ) dt dt

m=n, 微分次数 ＝积分次数
对于卷积很方便。 Signals and Systems, Anhui University
三、与(t)、u(t)的卷积
•(t)的卷积特性
25
f t t f t
t t t
推论
f ( t ) ( t t 0 ) f ( t t 0) f ( t t 1) ( t t 2 ) f ( t t 1 t 2 ) f ( t ) ( t ) f ' ( t )
• 卷积结果与交换两函数的次序无关。因为倒置f1() 与倒置f2() 积分面积与t无关。
• 一般选简单函数为移动函数。如矩形脉冲或(t)。
交换律说明： 系统的h(t) 与e(t)互换， 系统的响应不变。
e( t ) h( t ) h(t) e( t ) y( t ) y( t )
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2.卷积的积分性质
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f ( ) f ( ) d f (t )
t 1 2 1
t

f 2 ( )d f2 (t )
t

f1 ( )d
推论 设 st f1 t f 2 t 则 s i (t ) f1 j (t ) f 2(i j ) (t ) 微分性质积分性质联合实用
0 t>0

1 e()h(t-) 0 t>0

e()h(t-) 相乘 •两波形重叠部分相乘, e()h(t-)d 积分
r( t )
0
积分区间：(-，t )
Signals and Systems, Anhui University t
[前例]
用图解法确定 卷积的积分限。
8
e t
分配律
f1 (t ) f 2 (t ) f3 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f3 (t )
h ( t)
h1(t) e(t)*h1(t)
21
e(t)
h2(t)

r (t ) e(t ) h1 (t ) e(t ) h2 (t )
1
e

t 2
u(t ) u(t 2)
t
h t 1 O
e u(t )
t
t
O
2
[解 ]
h(-)
1
e( )

1
t 0, e(t ) h(t ) 0
h(t-)
e( )
0t 2
t
1
2

e (t ) h(t ) e e
0
t

2 t
d 2(e e t )



例1 已知f t , h t ，求g t f t h t 。
f (t )
1 1 1
1
26
h( t )
O 1
f 1 O f(
2
t
O
1
h (t )
t
(t )
g(t ) f ( 1) (t ) h(1) (t )
1 ( 1) t
f1 t f 2 t f1 f 2 t d
t
•若t<0, f1(t)=f2(t)=0,
f1 t f 2 t f1 f 2 t d
t 0
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[例 ]
[ 解]
电路如右图，用卷积法求i(t). +
4
i(t) u(t) 1H 1
e(t)
列写KVL方程
d i t L Ri t et dt
-
冲激响应
ht e ut
t
t i(t)
i t e t h t u e

t 2
e( ) h(t-)
t 2
2t
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0
e (t ) h(t ) e e
2

2 t
d 2(e 1)e t
9
From “SignalSignals Processing and Linear Systems” ,thi and Systems, Anhui University
(1) 1
1)
2
t
O g( t )
( )
h ( t ) 1 t 1 t O 1
1 1 2
t 3 2t t3
3
t
0t 1 1 t 2 2t 3

O
1
2
1Systems, Anhui University Signals and
27
df1 ( t ) dt时, 注意 当f1 ( t ) dt
t
f1 (t ) f 2 (t ) f1(t ) f 2( 1) (t )
sgn ( t ) 2
例： sgn t t 用微积分性质
sgn( t )

O
*
( 1) ( t )
19
§2.7 卷积的性质
•代数性质 •微分积分性质 •与冲激函数或阶跃函数的卷积
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一、卷积代数
•交换律
20
f1 (t ) f 2 (t ) f 2 (t ) f1 (t )
• 通过积分变量置换，交换律很容易得到证明。

rzs (t )

e( )h(t )d e(t ) h(t )
• 卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t) 建立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系。 • 卷积是数学方法，还应用于其他学科 。 Signals and Systems, Anhui University
系统级联，框图表示 e(t) h1(t) e(t)*h1(t) h2(t) e(t) *h1(t) * h2(t) r ( t)
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r (t ) e(t ) [h1 (t ) h2 (t )]
ht h1 (t ) h2 (t )
• 级联系统的冲激响应等于各子系统冲激响应的卷积。 • 级联系统的响应与各子系统的位置无关。 Signals and Systems, Anhui University
e(t)*h2(t)
e(t ) h1 (t ) h2 (t )
h(t)=h1(t)+h2(t)
结论：子系统并联时，总系统的单位冲激响应等于 各子系统单位冲激响应之和。
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结合律
f1 (t ) f 2 (t ) f3 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f3 (t )

d sgn(t ) dt
dt sgn(t )