Fi Δii

Fj Δji
Fj j
Δji Δjj
Fj j
Δjj Δji
W W
Fi Δij Fj Δji
Fi Δij F j Δji
功的互等定理
力 i 在力 j 引起的位移上作的功(虚功)， 等于力 j 在力 i 引起的位移上作的功(虚功) 。
一般地，对线弹性结构:
力系 i 的力在力系 j 引起的相应位移上所作 的功，等于力系 j 的力在力系 i 引起的相应位
A
Fl
1
2
B
M Mdx
wC
EI F B ΔB
C
3 FB
2
wC

1 EI
1 2
l

Fl 2

l 3

1 2
l 2

Fl 2

l 3
3 2
3F 2k
M
l
l
3
l3
2
Fl 3 9F ()
8EI 4k
16
图乘法小结
图乘法是 Mohr 积分的一种简单算法， 适用于等刚度直杆。要点为：
d
x
Mohr积分是单位载荷法在线弹性结构上 的应用，其要点为：
• 构造一个虚力状态，计算出单位力引 起的内力方程 FN , M , FQ ,T.
• 计算原结构中实际载荷引起的内力方程 FN , M , FQ , T .
• 对整个结构计算Mohr积分。
求任意点A的位移
q(x) A
ΔA
弯矩 M ( x ) 单位载荷法：
题：求图示刚架A 截面 的转角或C 点的挠度。 已知各部分弯曲刚度为
EI。
(a)
(b)
(c)
(d) 49
练习二：
50
练习二：
51
Homework:
11- 19(a) 21(a) 32
q
解：作载荷弯矩图和单位
A
B
C 弯矩图。
l
ql2 l
2
8 C2
M
C1
C3
ql 2
1
M
8
C

1 EI

1 2
l
ql 2 8

l 3
2 l ql 2 l 3 84
ll 43
l
l 3 24
2

1 3

l 2

ql 2 8

3l 8

ql 4

()
128EI
13
例2 试求图示刚架结点B的水平位移uB 。EI为常数。 [解]作载荷弯矩图和单位弯矩图。
Δ FN FN d x M M dx TT d x
l EA
l EI
l GIP
注：卡氏定理求含参数积分，再求导； 莫尔定理是纯数值积分；所以莫尔定理计算量小。
3
上节回顾 目的：找一个适于任何结构的一般方法
虚位移
虚
单
功 导出 位
原
载
理
荷
法
莫尔积分
图乘法
简化Mohr 积分，
至少有一 个M函数 为线性
位移上作的功
W

FΔ1

FRB Δ2

Fa2 6EI
(3l
a)
FRBl 3 3EI
第二组力在第一组力引起位移上作的功等于零，由功的互等得：
W Fa2 (3l a) FRBl3 0
6EI
3EI
F a2 FRB 2 l3 (3l a)
40
2011第八届全国周培源大学生力学竞赛试题
26
材力11-3
今天学习内容
内容 图乘法练习题
11.6 互等定理
要求 掌握图乘法 , 互等定理
练习 图乘法，互等定理
1
各种方法比较
方 法 应用范围
说明
计算量
功能原理
单个集中载荷 方向的位移
1.积分求变形能
W

n i 1
1 2
Fi
Δi
Vε

l
FN2 d x 2EA
l
M2dx 2EI
平衡结构在虚位移中，外力虚功等于杆 件的虚应变能。
单位载荷法
F1
K
F2
Δ=？
1
K Δ
实际位移状态作为虚位移
原问题: 求Δ
虚力状态： 加单位力
1 Δ F dl M d T d FQ d
单位载荷法的思想：
原结构虚构一个单位力作用，称虚力 状态。
在虚力状态上运用虚功原理，虚位移 取原问题的实际位移。
圆柱AB自重不计，长为L，直径为D，材料弹性模量为E，泊 A
B
松比为ν，剪切屈服应力为τs 。其中圆柱A 端固定，B端承受 引起50%屈服的扭矩MT 作用。
MT
L
（1）求作用于圆柱上的扭矩MT （6 分） （2）应用第三强度理论（最大剪应力理论），求在圆柱B端同时施加多大
的轴向拉伸应力而不产生屈服（6 分）
ql A
M图
ql
2
1A 1
M图
14
例3 试求图示刚架A，B 两点的相对线位移△AB 。EI
为常数。(同学练习)
[解]作载荷弯矩图和单位弯矩图。
A
a
C
B
F
a
D
1
A
a
C
B
1
a
D
a
a
Fa
2
M
a
M
a
ΔAB

1 1 2a EI 2
Fa 2
a


Fa 3 2EI
a
a
（靠近）
因 P0 = 1
弯矩
P0 =1 A
ΔA
10
已知：EI = 常量
例:
求：A，B 之间的相对线位移
解：1. 建立坐标系
R AF FB
2. 求载荷引起的内力方程
M =FRsinφ （0≤φ≤2π） 3. 加单位力并求单位力引起 内力方程
R A1
M R sin （0≤φ≤2π）
1B
4. 求ΔAB
F
Δij Δji
A
B
C
百分表
悬臂梁受力如图示。请设计一实验方案， 用百分表测量梁在各处的挠度。
A：移动百分表？
F
A
B
C
B：固定百分表？
aF l
1
FRB 第一组
2 第二组
1
已知 a， l， EI，F
求：FRB
解：构造第二组力系，其位移为：
Δ1

a2 6EI
(3l a)
Δ2

l3 3EI
第一组力在第二组力引起
（线弹性） （等刚度直杆）
非线弹性 其他
Wext Wint 0
Δ

FN FN EA
dx
MM EI
dx
TT GIP
dx
1 Δ FN dΔl M d T d
4
虚功原理
F1
F2
Fn
Δ1
Δ2
Δn
Fi Δi FN dl M d T d FQ d

2 3
a

a

Fa

a

4Fa 3 3EI

22
4. 求θC
在C 加一单位力偶，作单位力偶弯矩图 M 3
F
B Fa
1
C
1
Fa *
*
A
M
M3
C

1 EI

1 2
a

Fa

1

a

Fa

1


3Fa 2 2EI

23
本题
小结
B
B
a
A
a
C1
a
a
2a 3
F
F
C
B Fa
C
Fa *
（3）求圆柱体的体积改变量（8 分）
(1)


MT WP

MT D3
s 2
16
MT

D3 32

s
(2) 1

2

1 2
2 4 2
2 0
3

2

1 2
2 4 2
max

1 3 2

1 2
2 4 2
1 2
2 4 s 22 s
ΔAB

1 EI
2
M MR d
0

2

FR3 sin2 d
EI 0
FR3
EI
（沿载荷方向分开） 11
图乘法
M
ω
C
x xc
M
MC
x
MM d x MC
Mohr积分等于载荷弯 矩图的面积 ω乘以它的 形心坐标处的单位力弯 矩值 M C .
例1： 试求图示外伸梁C点的竖向位移。EI为常数。
移上所作的功。
注：力系、位移均为广义的； 适用于线弹性结构。
二、位移互等定理 ---- 功的互等定理的特殊情况
Fi
i Δii
j
Δji
i Δij
Fj j
Δjj
Fi i j = Fj j i
Fj＝Fi
ij= ji
位移互等定理