（1）常见图形面积和形心：
矩 形
a
l
A al
xc 1 l 2 xc 1 3l
xc 1 4l
3 xc 8 l
三角形
a
l
A 1 2 al A 1 3 al A 2 3 al
l
a
l
标准二次 抛物线
a
l
a
A 2 3 al
xc 1 l 2
（2） 梯形相乘
A1
A2
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2
1 M M P dx EI

(M x tanα)

yc
xc x
M
x

图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。
4、 注意事项
KP AP yc EI
还记得 吗？
（1）必须符合图乘法的适用条件； （2） 必须取自直线图形； （3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负； （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解； （5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
如果将AC段的 M P图如下图那样分块，就比 16 较麻烦。 4kN 4 2kN/m 8 M P图 4 A C C A 2m 4kN.m 例2 求 B, EI等于常数。 12kN.m 4kN C 4m
2kN/m
4kN.m 4m B 7kN
A
5kN
解： 作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
c
y2
d
M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘 （4）曲线图形与折线图形相乘
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2 A3 y3 Ai yi
（5）阶形杆件图形相乘
MiM K Ai yi A1 y1 A2 y 2 A3 y3 EI dx E1 I1 E2 I 2 E3 I 3 Ei I i
yc
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h AP 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
B
1 3 y3 (1 1/ 2) 2 4
1 1 1 20 32 3 ( 1 y1 2 y2 3 y3 ) ( 64 4 ) EI EI 2 3 3 4 1 80 13.33 ( 32 8) ( ) EI 3 EI
例3
(2c d ) y1 3 y (c 2 d ) 2 3
M M
i
K
dx 1 y1 2 y2
(2c d ) y 1 3 y (c 2 d ) 2 3
b c取负值
A a C
A1
B A2 b
MK 图
D
y1
2 4 1 2 1 3 3 1 2 2 2 2 2
2kN/m
A
16
2m C 1
A
4 C
MP
B
CV
2 1 y2 ( 16 4) 2 ω2 1 3 3 M 36 y1 12 B A 3 C 1 1 4 1 (1 y1 2 y2 ) ( 1 2 12) 22.67 EI EI 3 EI
M图
1 2 1 2 4 2 4 2 3 3
A
y ω C 1 2 ω3
A
1 1 16 8 64 2
4 8 1 1/2 ω2 y y1 3 B C 1
y1 1/ 2
2 1 20 y2 ( 4 12) 3 3 3
4 B MP图 （kN.m)
M图
2 32 4 4 3 3
3
1 2 8 1 4 2
xc
x
Δ
MC
EI
l
x
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h Ap 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
lh n1
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x) 为折线，则应以
折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解：
作 M 图 M P 图，如右图所示。 分段： M， M P 分为AC、CB两段。 分块： M P 图的AC段分为两块。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI


M MP EI
ds
←杆轴为直线 ←杆段EI为常数
y

M MP EI
C
Mp dx
B
dx
A

1 x tan α M P dx EI tan α tan α xdA xM dx P EI EI tan α 1 Ap xc Ap y c EI EI
求 ,B EI等于常数。 A 2m
解：
作 M 图及 M P 图， 如右所示。
6kN/m
B
7kN
6kN.m 4m 17kN
C
y2
分段： M ，M P分 为AB、BC两段。 分块： M P 图的 BC段分为两块。
ω1
ω3
14
6
y1
1 1/6
1/3 2/3
ω2
12 M P 图 （kN.m) y3 1/6
对于等直杆有
1 Δ M ( x ) M ( x )dx l EI MC EI
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
当M图为正弯矩时， ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号. Mc 也应按弯矩符号给以正负号.
M(x)
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
M( x )
§4-4 图乘法
1.图乘法原理
梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式：
KP
MKMP ds EI
称莫尔积分
建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况 下不方便。 图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图 形积分变为图形相乘。
2、图乘法的适用条件：
（1）杆件轴线是直线；
（2）杆段的弯曲刚度EI为常数； （3）图 M 图 M P 中至少有一个是直线 图形。