[例4] 计算图示刚架在分布荷载作用下的B点的水平位移 。 各杆截面为矩形bh，惯性矩相等。只考虑弯曲变形的影响。
ql 2
ql
ql 2
M P图
M图
解: MP图面积可分为三块： A1、A2 、 A3
1 ql 2 ql 3 A1 l 2 2 4 2 y1 l 3 ql 3 A2 4 2 y2 l 3 2 ql 2 ql 3 A3 l 3 8 12 l y3 2
（3）组合结构
FNP F N MP M ds L o EI EA
l
（受弯构件）
（链杆）
（4）三铰拱 — 曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形,拉杆只有轴向变形。

L
o
（曲杆）
L F FN FNP F N MP M NP ds ds L o EI EA EA1
（曲杆）
（拉杆）
1 1
2) 在C、D两点加一对 反向的单位水平力， 并作弯矩图
M图
M P图
M图
4 4 1 q 2 ——（三次抛物线） y1 1m m A1 1m m 5 5 4 6
q 2 A2 m 2m ——（矩形） 6
y2 1m
2 q 2 A3 m 2m ——（二次抛物线） y3 1m 3 2
1
C
A
1 2 l 2 Cy ( 3 l 8 ql ) 4 B 1 ( 2 l 1 ql 2 ) ( 5 l ) 2 Cy EI 3 2 8 8 4 1 EI
l 4
5 ql 4 () 384 EI
分段图乘
[例2] 计算悬臂梁在集中荷载作用下的C点的竖向位移 C 。 解:M P 图的面积 (教材用A表示)
yC
2.图乘注意事项
M P 图形心位置所对应的 M 图中的竖标
1）杆件是直杆，EI必须是常数；
2） yC 必须取自直线图 （ M P M 均为直线时可互换）； 3）M 图为折线或 M P 在基线两侧时都需分段图乘； 4）图形的
或 yC 很难计算时，不宜用图乘法。
A
6m 300
B
6m
C
A
300 6 1 1 300 2 3
45
不是顶点
（2）求C点的竖向位移
叠加图乘
1
M P图 M A图
1
CV
300 6 2 6 2 3 2 2 6 45 3 3 6660
1
6
MC 图

1 q 4 4 2 A1 y1 A2 y2 A3 y3 m EI EI 15
结 束
（第二版）作业:5—17, 19, 24
§5-5 图乘法
1.图乘原理公式
——将积分转变为图形相乘
y
积分式:
dω
L
o
MP M ds EI
形心 C A
dx
1 等直杆EI常数: EI
M P图

L
o
M P Mds
考察MP和M图
MP ——曲线
B
0
α
M x A xC
yC
M图
由图可见： M x tg 代入积分式有:
M ——直线
MM P 1 3ql 4 A1 y1 A2 y2 A3 y3 ds 8EI EI EI
[例5] 试求图示刚架在水压力作用下C、D两点的相对水平 位移。设各杆EI为常数。 解： 作荷载作用下的弯矩图 1)
M P图
q M A q x dx 1 x q x 1 x dx 0 0 6
技巧：恰当运用叠加原理
3.常用图形的 面积及形心
注意： “顶点”与基线切点， 若不是则公式无效。
4. 图乘的分段 示例(1)： M 图 为折线
MP图

M图
L
o
M P Mds A1 y1 A2 y2 A3 y3
示例(2)： M 图 为特殊折线
C1 C2
M P图
y1
M图
y2=0

L
o
M P Mds A1 y1 0
5. 图乘的叠加 (1) 两个直线图形图乘的叠加法
MP图 M图


L
o
M P Mds A1 y1 A2 y2
3 3 2 1 y2 d c 3 3
其中 y 2 c 1 d 1
两个直线图形图乘的通用公式: (注意代入abcd的正负) L (2ac 2bd ad bc) 6 EI
yc取自MP图
MM P 1 C dx Ayc EI EI
5FP l 3 1 l2 5 FP l EI 8 6 48EI 1 l l l2 A 2 2 2 8

[例3] 求A点的转角和C点的竖向位移。 （EI=1）
10kN/m
20kN
解：（1）求A点的转角
B x

B A
M P Mdx x tg M P dx
B
MP图对oy的面积矩
tg x M P dx
A B
A
B
d
P xc
yc
tg x d A tg xc P yc P
得图乘法公式： 1
1 o M P Mds EI yC EI 乘积“＋、－”规定—— 与 yC 同侧为＋，不同侧为－
l
力场（虚）
1 [ Md F Q d F N d ] F Rk Ck
0 0 0
(弯曲)
(剪切)
(轴向)
(已知支座移动)
位移场（实）
仅考虑荷载作用， Ck 0 由材料力学可知 ：
FQP GA
代入得 ：
l
MP d ds EI
d k
ds
d
FNP ds EA
l k FQP F Q l F FN MP M 1 ds ds NP ds o o o EI GA EA
2. 各种静定结构位移的计算公式
（1）梁、刚架 —只考虑弯曲变形
MP M ds o EI
l
（2）桁架 —只有轴向变形
FNP F N L EA
第5章 结构位移计算与虚功－能量法
§5-1 刚体体系的虚功原理与位移计算 §5-2 结构位移计算的一般公式 §5-3 荷载作用下的位移计算
§5-4 荷载作用下的位移计算举例
§5-5 图乘法 §5-6 温度变化时的位移计算 §5-7 互等定理
1.荷载作用下的位移计算公式：
位移计算的一般公式：
l l
回顾
公式适用所有直线图形的情况，例：
a
｛
c
×
｛
b d
×
｛
×
(2) 复杂图形的图乘叠加法 (有q作用的梁段)
M P图
×
M图
=
×
+
×
×
=
×
+
×
6. 举例
[例1] 试用图乘法计算简支梁在均布 荷载q作用下的B端转角 B， 以及AB梁中点的竖向位移。
解:
MM P 1 B dx Ay0 EI EI 1 2 ql 2 1 ql 3 l EI 3 8 2 24EI