= 3.5325103 m
3.5103 m = 3.5mm()
=
=
+
+
均布荷载按简支梁进行叠加 ， 按第22页图3-2方法。
集中荷载、均布荷载分别做 弯矩图，然后进行叠加 。
作业： 第77页 4-3（a）、（b）、4-4 （b）
休息一下
作业情况
一、桁架的内力标注在图上。 二、取隔离体：如3-20（a) 图
由Ⅰ-Ⅰ左边隔离体算出FNB后，取下 面四个结点A、B、C、D分别计算？
三、抄作业。 CD是二力杆，有
这样画隔离体的？
这是什么 隔离体？
返回
§4—4 图乘法
MiMk
ds
直杆
MiMk
dx
EI =C
1
EI
EI
EI
MiMk dx
D
=
1 EI
P
aa 2
2 3
a 2
2
a
2
3a 2
4
a 2
2
Pa
23Pa3 =
24EI 例：求图示梁C点的挠度。
？ D = 1 Pl 2 l = Pl 3 C EI 2 6 12 EI
DC
=
wy0
EI
=
1l l
××
222
×5 Pl 6
= 5 Pl 3 48 EI
P
P
MP
Pa
Pa
a
a
a
P=1
a/2
a/2 M 3a/4
P
l/2
Pl
5Pl/6
C
l/2
MP
P=1
l/2
C l/6
M
图乘法 位移计算举例
D
=
MM EI
P
dx
=
AP yC
EI
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。
②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图
至少有一个是直线。
③竖标yC 取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积AP与竖标yC在杆的同侧， AP yC 取正号，否则取负号。
（1）M 图的BC段没有弯矩，只需 在AB段进行图乘。
（2）两图均为直线， M 图上取面 积，MP图上取相应竖标，较为简便。
DCH
=
2 EI
1 4m 4m 2
(1 80KN • m 2 160KN • m)
3
3
1067KN • m3
=
()
EI
例4-8：试求图示伸臂梁A端 的角位移φA及C端的竖向位移 ΔCV。 EI = 5104 KN • m2 解：做出MP图和 M 图分别如 图b、c、d所示。
至少有一个是直线。
③竖标yC取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积AP与竖标yC在杆的同侧， AP yC 取正号，否则取负号。
⑤几种常见图形的情况：
单位荷载弯矩图由若干直线段组成 时，就应该分段图乘。
MMP
EI
dx
=
1 EI
( AP1 y1
AP2 y2
AP3 y3 )
两个梯形相乘时，不必找出梯形的
⑤几种常见图形的面积和形心的位置：
h
顶点
3l/4
l/4
h l/2 顶点 l/2
二次抛物线ω=hl/3
二次抛物线ω=2hl/3
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法：
a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移；
b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
⑦非标准图形乘直线形
（1）
S = 9/6×（2×6×2 +2 ×4×3
6
4
+6 ×3+4×2） =111
2
3
9
S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15
（2）
2
（3）
3
4
4
6
6
3 2
9
9
S = 9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）= 33
（4）
2
6
3 S = 9/6×（－2×6×2+2×0×3 +6×3－0×2） = －9
将图b与图c相乘则得
A
=
1 5104
1 2
48
6
1 3
1
= 9.6104 rad ( )
结果中的负号表示φA 的 实际方向与Ｍ＝１的方向 相反，即逆时针方向。
将图b与图d相乘则得
BC 段 在 均 布 荷 载 和 集 中荷载作用下，其弯矩图 不是标准的抛物线图形。
= 2.88103 0.6525103
l
A=hl/2
二次抛物线A=2hl/3 顶点
h
h
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线A=hl/3
5l/8
3l/8
二次抛物线A=2hl/3
h
h
顶点
4l/5
l/5
三次抛物线A=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
n次抛物线A=hl/(n+1)
例：求图示梁中点的挠度。
？ D= 1 1 3a 3aPa EI 2 4
Mi是直线
1
EI
B
A Mk xtgadx
=
1 tga
EI
B
A xMk dx
Mk
AP
x
dx
=
1 EI
tga×AP
xC =
1 EI
APyC
y
xC
D = MM P dx = AP yC
注：
EI
EI
α Mi=xtgα
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。
Mi yC yC=x0tgα x
②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图
MMP dx = 1 (
EI
EI
M M P'dx
M M P"dx)
MMP
EI
dx
=
1 EI
( al 2
ya
bl 2
yb )
ya
=
2c1d 33
yb
= 1c 3
2d 3
均布荷载作用区段的弯矩图与直线 段图乘。
几种常见图形的面积和形心的位置：
a
b
h
h l/2 顶点 l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
形心，而将一个梯形分解为两个三角 形，然后分别与另一梯形图乘。
MMP dx = 1 (
EI
EI
M M P'dx
M M P"dx)
MMP
EI
dx
=
1 EI
( al 2
ya
bl 2
yb )
ya
=
2c1d 33
yb
=
1c 3
2d 3
两个图形都呈直线变化，但均含有
不同符号的两部分，图乘时也将其中 一图形分解为三角形。
(2 3
l
ql 2 8
)
1 2
=
ql 3 24EI
(
)
将图b与图d相乘则得
DCV
=
1 EI
( AP1 y1 AP2 y2 )
2 2 l ql 2 5
5ql 4
= ( ) l =
()
EI 3 2 8 32 384EI
例4-7：试求图示刚架C点的水平位 移 NhomakorabeaCH。EI为常数。
解：做出MP图和 M 图分别如图b、c 所示。
a）直线形乘直线形
M M dx =AP1 y AP2 y
ik
1
2
a
AP1
Mi
AP2
b
l/3
l/3
l/3
= al 2c d bl c 2d
2 3 3 23 3
c
y1
Mk
y2
d
= l (2ac2bd ad bc)
6
各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线
同侧乘积取正，否则取负。
9
b)非标准抛物线成直线形
a h
b ＝a
+
举例
b h
c l
d
S
=
l
6 (2ac 2bd
ad
bc ) 2hl
3
cd 2
例4-6：试求图示简支梁A
端的角位移 A 和中点C的竖
向位移 DCV 。EI为常数。
解：荷载作用下的弯矩图和两个单 位弯矩图分别如图b、c、d所示。
将图b与图c相乘则得
A
=
1 EI