第一章1、自然数集是有序集2、自然数集具有阿基米德性质即：如果a,b∈N，则存在n∈N，使na>b3、自然数集具有离散型即：在任意两个相邻的自然数a和a’之间不存在自然数b，使a<b<a’4、最小数原理３、整数集的性质①整数集构成一个交换环②整数集是有序集③整数集具有离散型④整数集是可列集1、有理数集是一个数域2、有理数集是一个有序域3、有理数集Q+具有阿基米德性质4、有理数集具有稠密型5、有理数集是一个可列集①实数集是一个有序域②实数集R+具有阿基米德性质③实数集具有连续性④实数集是不可数集1、复数集是一个数域2、复数域不是有序域3、在复数域内，开方运算总可实施。

任何非零复数有且只有n个不相等的n次方根。

第二章值例：求00080cos 40cos 20cos ⋅⋅8120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 220sin 480cos 40cos 40sin 220sin 280cos 40cos 20cos 20sin 200000000000000====⋅⋅⋅=解：原式NcN aN c N b N b N a ac b c b a log log log log log log :1,,2=--=求证，的正数，且是不等于例：设原式右边原式左边所以，得证明：由==-⋅-⋅=--=-=-+==a N c Nb Nc N a N aN b N c N c Nb N b N a N bNc N a N b N c Na Nb N ac b log log )log (log log )log (log log log 1log 1log 1log 1log log log log log log log 2213cot cot cot 3tan tan tan =-+-θθθθθθ例：求证的值内的两相异实根，求在为方程、例：已知)sin(),0()0(cos sin βαπβα+≠=+mn p x n x m 原式右边（原式左边证明：（综合法）==⋅-⋅-⋅-⋅-=--⋅-+⋅-=13tan cot 3cot tan 23tan cot 3cot tan 2)3cot )(cot 3tan tan 3tan cot 13cot tan 1θθθθθθθθθθθθθθθθ初等函数 ♦ 1、基本初等函数♦ 2、定义:初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个解析式表示的函数。

判断下列函数是否是初等函数？x y x x x x f x y x x x x x f xxx y c bx ax y =++++==⎩⎨⎧>≤≤=+-=++=、、、、、、61)(5][41,10,2)(3322132322 答案:是，是，不是，不是，不是，是22222)(122tan 12tan 2)sin(2tan 2sin 2cos 02sin ,2220,0n m mn nm n m n m n m +=+⋅=+++=+=++=+∴≠-∴≠<-<-∴<<<<βαβαβαβαβαβαβαβαπβαππβπα由万能公式得即又 02sin 2sin )2(2sin 2cos 20)cos (cos )sin (sin )2()1()2(cos sin )1(cos sin =-+-⋅+-+⋅=-+--⎩⎨⎧=+=+βαβαβαβαβαβαββααβαn m n m p n m p n m 即得所以为方程的两相异实根，、解：因为判断：是否为同解变形？增根还是失根？判断：是否为同解变形？增根还是失根？判断：是否为同解变形？增根还是失根？解方程常用的方法♦ 1、換元法22221626x x x x -+=+-例：解方程都是原方程的解。

经检验解得故有舍）解得则有令原方程变形为解3,13,1,362(9,3,027606202762662:21212212222=-==-==+--===-+>+-==-+-++-x x x x x x y y y y x x yx x x x 22367211(6)x x x-+-=-111x x x--（负的舍去）得即故）得代入（变形为则解：设解方程251010)11(1211211)1()2(12)1(111111122+==--=---=-+-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=---=-+-=x x x x x x x x x x y x x y x x xy xx x y xx x x 111x x x x -+-=证明不等式的常用方法1123--=-x x 例：解方程方程的解。

经检验这三个解都是原由此得原方程的解为即）得）代入（所以（则设解：（換元法）10,1,23,0,11)1(21)2(1)1(11,232132123233=======+-⎩⎨⎧=+-==-=-x x x v v v v v v u vu vx u x ix i x x x x x x x x x x x x x 32,32,20)74)(2(0)74)(2()2(0)14154()2(:32122223-=+===+--=----=+---解得原方程化为解01415623=-+-x x x例：解方程根。

所以原方程有两个实数图像有两个交点。

函数从图像不难看出，两个如下。

，作图同解。

所以可设解：由于原方程与方程2,2222212+-==+-=--x y y x x x 的实数解的个数。

例：确定方程222=+-x x3、图像法的三个根是三次方程）可知，）（）（由（06116,,541)5(6)4(11)1(623=-+-==++==+t t t z y x xyz zx yz xy z yx 2、因式分解法2、比较法♦ 欲证A>B,即证A-B>0（作差法）♦ 或A/B>1(作商法）3、分析法4、換元法（等量代换法）所以原不等式成立。

由于即要证只需证要证证明：（分析法）αααααααααααα22222222cos cos 2,sin sin 2)cos (sin )()cos sin (22)cos sin (21cos sin +≤+≤+++≤+≤+≤+b b a a b a b a b a ba 得证则证明：设证明：（換元法）1)sin(cos sin sin cos cos sin sin ,cos ≤+=+=+==βααβαβααββb a b a a b b a b a b a b a b b b a b a a ⋅>⋅>>-+>-+>，求证：、设，则、若02)1)(1())((1124、換元法（等量代换法）五、反证法21)3(,)2(,)1(都小于假设证明：反证法f f f 21)3(,)2(,)1()(2至少有一个不小于中，求证例：已知f f f q px x x f ++=原命题成立。

矛盾。

假设不成立，故与得即即则有)2()4()4(292211)3()1()3(293219)2(27229)1(212321392121242121121-2139)3(2124)2(211)1( -<+<-+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+<--<+<--<+<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<++<-<++<-<++<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<++=<++=<++=q p q p q p q p q p q p q p q p f q p f q pf6、放缩法（不等量代换法）♦ （1）欲证A<B ，先证A<C 且C<B(这是放大) ♦ （2）欲证A<B ，先证B>D 且D>A （这是缩小）♦ 放缩法)1()(011>∈-<->>-n N n a b a n b a b a n n n 且，求证：若例1121121)())(())((--------=++-<++-=-n n n n n n n n n a b a n a a a a b a b b a a b a b a 证明：。

左右两边分别相加得证所以证明：由于nn n nn n n n 11114131413121312112111111)1(1122222--<-<-<-<=--=-<)1,(121312112222>∈-<+++n N n nn ：证明例)(1(11(()(a b a b a b +♦ 放缩法常见的一些技巧：✓ 舍掉或加进一些项✓ 放大或缩小分子或分母．✓ 运用基本不等式 利用函数单调性7、构造法♦ 构造函数✓ 构造的函数通常有一次函数、二次函数、分式函数、指数函数、对数函数等，证明过程中用函数的单调性，函数值的范围，二次函数的判别式等．11111)(1)()111111()(()11()2a b a b ab a b a b a b a b a b ab +++++=++≥=+构造图形8、数学归纳法位置关系的证明♦ 1、平行的证法 2、垂直的证法 3、共线点的证法 4、共点线的证法 ♦ 5、共圆点的证法ABCDEFGADCG GADC EF AG AFEG FB AF FB GE FB GE GFBE //DCAG AG//DC DC EF EF,AG //,//∴=∴==∴∴==∴是平行四边形四边形且而且是平行四边形四边形又是平行四边形四边形证明： ADCG BE FG AB EG ABC CF BE AD ////,//则的中线，若直线是、、例：∆BC F E AF AE A /FE/:表示垂足。

求证、。

、线向另两角的平分线作垂例：从三角形一顶点PAFE F E PD PC D C BCD B PA PA P //求证：、交圆于、连接、交圆于割线作的中点，由作切线例：由圆外一点BCEFABCEF EBC B C A A C FEB CCAF AFC Rt A CAF FAI FEB AI AFIE //21)(2121219021902100∴∠=∠=∠-∠-=∠-∠-=∠∠-=∠∆∠-∠=∠=∠∴π则中，而在为直径）四点共圆（证明：♦ 圆内角定理：园内角等于它所对的弧与它对顶角所对弧的度数的和的一半。

♦ 圆外角定理：圆外角等于它所对的弧的度数的差的一半。

例：设四边形ABCD 同时有外接圆和内切圆，证明两组对边上的切点的连线必互相垂直。

00000909018021180(2190(2190(E .=-=∠+∠=∠+∠∆∠-=∠=∠∆∠-=∠=∠⊥）（—相加得中）在中）在）垂足为只要证明，Ｈ连接、、、为各边上的切点分别、、、证明：设C A PFE PEF AHE A AHE PFE FCG C CFG PEF P HF EG EF H G F E DA CD BC AB ABCDEF GH Ｐ♦ 1、定义：判定三点或三点以上的点位于同一直线，谓之共线点问题。