习题一1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为：（1）B A ⊂（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。

而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。

（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。

（4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。

数系扩展的方式有两种：（1）添加元素法。

（2）构造法。

2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则（1）,;a b ac bc ==若则（2）,;a b ac bc <<若则（3）,a b ac bc >>若则；证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。

a b,a a 1,b b 1,P13(1),(1)a 111,a ac a c ac a bc b c bc bb Mc M c bc==⋅=⋅=+=+=+=+''∴⋅=⋅∴∈∈= （规定）假设即ac ,ac a c .bc a ba bcbc bc M ==∴+=+∴=''∴∈'又 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。

（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9）由（1）有()bc a k c =+a c kc =+ac bc ∴< （P17.定义9）或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=.ac bc ∴=（3）,,.a b a b k k N >=+∈若则有a ().cb kc bc kc =+<+ac bc ∴>3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则（1）,;ac bc a b ==若则（2）ac bc a b <<若，则；（3）ac bc a b >>若，则。

证明（1）（用反证法）,a .a b a b b ≠><假设则有或,a b ac bc ac bc >>=若有和矛盾。

,,a b ac bc ac bc <<<若有也和矛盾。

a .b a b ≠=故假设不真，所以（2）方法同上。

（3）方法同上。

4、依据序数理论推求：135+（），235⋅（） 解： 1313134++=='（）先求，，（P16.例1）323231(31)45,++=+=+=='''再求，3333323256++=+=+=='''再求，（），35343478.+=+=+=='''如此等等，直至（）（2）31313⋅⋅=先求，，3232313136⋅⋅=⋅=⋅+='再求，，333332323639⋅⋅=⋅=⋅+=+='再求，，353434312315.⋅=⋅=⋅+=+='如此等等，直至5、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。

证明：1n 141511189,1n =+⨯-==①当时，是的倍数故时命题成立。

k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。

即是的倍数。

则当n=k+1时：k 1k 415k 114415k 1315k 18441519(52)k k k +++-=+--⨯+=+---（）（）（）。

944151-952k k k ∴+--是的倍数（）（）19415(1)1k k +∴++-是的倍数1n k ∴=-当时，命题成立。

由①，②知，对于任一自然数n 成立。

6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立： 24444121-1-1-1-.19251221n n n +⋅⋅⋅=--（）（）（）（）（） 证明：412111--3-3.11-21n +⨯======⨯当时，左边，右边左边右边。

1n =故当时，等式成立。

n k =假设当时，等式成立，即：24444121-1-1-1-).19251221k k k +⋅⋅⋅=--（）（）（）（（）1n k =+则当时，有：22444411-1-1-1-)(1)1925(2k 1)(21)k ⋅⋅⋅--+（）（）（）（ 2(21)(23)12(1)121(1)12(12)(21)12(1)(21)k k k k k k k k k -++++=⋅-==⋅--+-++ 1.n k ∴=+当时，命题也成立。

由、知，对任意自然数n 命题成立。

41599k k +-是的倍数 9(52)9k -，是的倍数7、n(1,2...)n nA nαβ====设（1）αβ以、为根作一元二次方程；（2）213;nn nA A A++=+证明（3）3n10A用数学归纳法证明是的倍数。

解：（1）3-1αβαβ+==⋅==，2310.x xαβ∴--=以，为根的一元二次方程为：（2）22313 1.αβααββ=+=+以，代入以上方程，得：，2222n2n nn n n nA+++∴===n113n n n++=n13.nA A+=+（3）2232113310.n A A A==+==当时，1n=故命题对成立：3k10.n k A=假设当时，命题成立，即是的倍数32(31)3k113k kn kA A A+++=+=+（）则当时，有：3k133133k kA A A++=++（）3k13103kA A+=+12n211,3,3nnA A A A A++=∈N=∈N=+又故经递推式所得的各个数皆为自然数，因此，3k 1.A +∈N3(k+1)10A ∴也是的倍数。

3k ()10A n ∴∈N 是的倍数。

8、,,,,a ()b c a b c a b b c κρκρ+,设都是整数。

如果则对于任何整数都有证明： 112212121212a b a?()c ()b .c .b m .m .a ()ab cm m z m a m z m a m a c m a m am a m b c κκρρκρκρκρκρκρ∴=∈=∈∴==∴+=+=++∈Z ∴+， （）又（）9.证明整数集具有离散性.证明：（反证法）假设整数集不具有离散性，即在相邻整数a 和a+1之间存在b ,1a b a ∈Z <<+使。

依据加法单调性，(1)(1)1(1)a a b a a a +-<+-<++- ，即11()2b a <+-<1b a ⎡⎤⎣⎦+-∈N （）.这就和自然数集具有离散性相矛盾。

10、证明：有理数乘法满足结合律。

证明：,,,()a b c Q ab c a bc ∈=设要证：（） （1）当a,b,c 中至少有一个为零。

（1）显然成立。

设a,b,c 都不为零。

因为算术数乘法满足结合律，故a ()bc a b c ⋅⋅=⋅⋅（）。

故（1）两边的绝对值相等。

如果a,b,c 中有一个或三个都是负数，则（1）两边都为负数；如果a,b,c 中没有负数或有两个负数，则（1）两边都是正数，说明（1）两边的符号相同。

因此（1）成立。

11、指出下列集合中可以畅通无阻的算术运算，并且判断哪些集合构成数环：{}10（）； {}21（）； 3N （）； {}40N （）； 5Q +（）；6（）奇数集合；7（）偶数集合；{}8036,3n ±±⋅⋅⋅±（），，，。

答：（1）加，乘，成环（2）乘，除（3）加，乘（4）加，乘（5）加，乘，除（6）乘（7）加，乘，成环（8）加，乘，成环12、设有n 个正分数 312123.n n a a a a a b b b <<<⋅⋅⋅< （分母为正分数） 求证：112112a n n n n a a a ab b b b b ++⋅⋅⋅+<<++⋅⋅⋅+. 证明： 设1212m ,a a b b =M = 12121212a a ab b a b b <⇒< 32232323a a ab b a b b <⇒< 34343434a a ab b a b b <⇒<m <M 11111mb b mb a b ∴<M ⇒=<M (1) 22m b b ∴<M 122122111m a b b b a a b b =⋅<⋅=又 即2222m ,a b a b =<M 而222m b a b ∴<<M (2)223mb a b <<M 同理： (3)n n n mb a b <<M (n)12n ++⋅⋅⋅+（）（）（）121212m()()n n n b b b a a a b b b ++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<M ++⋅⋅⋅+1212m n na a ab b b ++⋅⋅⋅+∴<<M ++⋅⋅⋅+ 112112a n n n na a a ab b b b b ++⋅⋅⋅+<<++⋅⋅⋅+即. 13.近似计算：()4311.210+1.53105003.6⨯⨯+()243.260.3824-()332.264 2.13⨯()()34 2.6310 2.43564⨯÷3344333333(1) 1.2 1.53105003.6=1210 1.5310 5.003610 =(12+1.53+5.0036)10 (12 1.5 5.0)10 =18.5101910 =1.910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯≈++⨯⨯≈⨯⨯解：解法一：104334444441.210 1.53105003.6=1.2100.153100.5003610(1.20.1530.50036)10(1.20.150.50)10=1.85101.910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++⨯≈++⨯⨯≈⨯解法二：(2)43.260.382443.260.38242.87842.88-≈-=≈(3)32.264 2.1332.26 2.1368.713868.7⨯≈⨯=≈ 3333(4)(2.6310) 2.43564(2.6310) 2.4361.079101.0810⨯÷≈⨯÷≈⨯≈⨯ 14.已知近似数2315.4的相对误差界是000.02，.是确定它的绝对误差界，并指出它的有效数字的个数。

00=2315.40.02=0.463080.5∆⨯≈解： 故近似数精确到个位 所以有效数字有4个15.22 3.1416 1.7321=4.5511 4.551ππ≈⨯-≈计算0.001.解：2*16.,,,,S=.a b c d Q x ax b ad bc cx d∈+=+设是无理数。