九点圆
三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。

通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。

九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球（各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心）的一个特例。

当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆。

作图如下：△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L，
AC边垂足为E，AC边中点为M,AB边垂足为F，AB边中点N,
垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R（思路：以PL为直径，
其它任意某点，去证P某L为90°）
证明：（由中位线）PM∥CH，LM∥AB，又CH⊥AB∴PM⊥
LM，又PD⊥LD
∴PMDL共圆。

（由中位线）PR∥AC，LR∥BH，BH⊥AC，所以PR⊥LR
∴PMRDL五点共圆。

PE为Rt△AHE斜边中线
∴角PEA等于PAE
同理∠LEC等于∠LCE所以∠PEL等于180减去∠ADC
∴∠LEP等于90°
∴PEMRDL六点点共圆，PL为直径，同理PFNQL五点共圆,PL为直径
∴PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心
下证九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点
O为外心，OL平行等于AH一半（这个小定理我就不证明了）所以OL平行等于PH
OLPH为平行四边形，V是PL中点，就是OH中点
九点圆具有许多有趣的性质，例如：
1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；
2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；
3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；
欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。

联结
AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。

联结OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。

联结AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥
BC。

所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。

由于G为
重心，则GA:GD=2:1。

联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中
点。

同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
联结FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。

FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以
HA:OD=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。

所以∠OGD=∠AGH,又联结AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。

即O、G、H三点共线。

费马点
在一个三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。

即在ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”。

作法:（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。

特殊三角形中：
(2).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点.
(4)当△ABC为等边三角形时,此时内心与费马点重合
拿破仑三角形
在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的重心
也构成一个等边三角形。

这个由三个等边三角形外接圆圆心构成的三角形称“外拿破仑三角形”。

如图中的△O1O2O3就是△ABC的外拿破仑三角形。

托勒密定理
圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是
关于共圆性的基本性质．
蝴蝶定理
设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。

设AD和BC各相交PQ于点X和Y，
则M是XY的中点。

过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，
SL，ST
容易证明△ESD∽△CSF
所以ES/CS=ED/FC
根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2
所以ES/CS=EL/CT
又因为∠E=∠C
所以△ESL∽△CST
所以∠SLN=∠STM
因为S是AB的中点
所以OS⊥AB
所以∠OSN=∠OLN=90°
所以∠OSN+∠OSN=180°
所以O，S，N，L四点共圆
同理O，T，M，S四点共圆
所以∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON
所以∠SON=∠SOM ，
因为OS⊥AB
所以MS=NS
梅涅劳斯定理
定理内容：
当直线交三边所在直线于点时
逆定理：
在三边所在直线上有三点，且，那么三点
共线。

过点C作CP∥DF交AB于P，则
BD：DC=FB：PF，CE：EA=PF：AF
两式相乘得
(AF：FB)×(BD：DC)×(CE：EA)=(AF：
FB)×(FB：PF)×(PF：AF)=1
角平分线定理
定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两条边的距离相等。

定理2：三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边
对应成比例。

过C作CN∥AB交AM的延长线于N
则△ABM∽△NCM
∴AB/NC=BM/CM
又可证明∠CAN=∠ANC
∴AC=CN
∴AB/AC=MB/MC
西摩松线
三角形外接圆上一点作三边的垂线，则其三垂足共线，此线称为西摩松线按照以下
的指示，画出西摩松线。

1．画一个圆及圆内接三角形ABC。

2．在圆周上任选一点P。

3．分别画出垂直于AB、BC、AC的线段PX、PY、PZ。

4．将X、Y、Z三点连起来，此线即为西摩松线
已知：ΔABC外接圆上有一点P，过P向三边所在直线作垂线，垂足分别是X、Y、Z，求证：X、Y、Z三点共线。

证明：
如图，连接PB、PC
因为∠AYP=∠BXP=90°
所以A、Y、P、X四点共圆
所以∠AYX=∠APX
同理C、Z、Y、P四点也共圆
所以∠ZYC=∠CPZ
在ΔAXP和ΔCZP中
∠BXP=90°=∠CZP，∠PAX=∠PCZ
所以∠APX=∠ZPC
所以∠AYX=∠ZYC
因为∠AYX+∠XYC=180°
所以∠ZYC+∠XYC=180°
所以X、Y、Z三点在同一条直线上。