位移法的两种思路:位移法典型方程和直接平衡方程 有侧移的斜柱刚架 剪力静定杆的求算 对称性的利用 联合法和混合法 温度改变时的计算 支座移动的计算 弹性支座问题 课堂练习 本章小结
位移法的基本概念
求解超静定结构的两种最基本的方法： 力法 位移法
力法适用性广泛，解题灵活性较大。（可选用各 种各样的基本结构）。
法求得转角Z1，即可求出刚
架的内力。
为了求出Z1值，可先对原结构作些修改
P
1
1
B
基本结构
A
基本体系
这样，原结构就被改造成两个单跨梁： lB是两端固定梁，1A是一端固定、另端铰支梁。
R1P
P
在基本结构上加上原来的 力P，由于附加刚臂不允许结 点1转动，此时只有梁lB发生 变形，梁1A则不变形。
基本结构
x
A
4 i A 2 i B
y 由线性小变形，由叠加原理可得
6i F M 4 i 2 i M A B AB AB l AB M 4 i 2 i 6 i M F B A AB BA BA l
2 i A
+
+
P
B 4 i B
综上所述，位移法的基本思路是： 1. 在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点 固定，从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；
２. 人为地迫使原先被“固定”的结点恢复到结构原 有的位移。
通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变 形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力 和变形。
此时附加刚臂中产生了反力矩R1P，反力矩规定以顺时 针为正。于是，基本结构与原结构就发生了差别，表现为：
1．由于加了约束，使结点1不能转动，而原来是能转动 的。
2 ．由于加了约束，产生了约束反力矩，而原来是没有 这个约束反力矩的。
为了消除基本结构与原
Z1
R11
Z1
结构的差别，在结点 1 的附
加约束上人为地加上一个外R1＝11＋R1P=0（a)
R11为强制使结点发生转角Z1时所产生的约束反力矩。
R1P为荷载作用下所产生的约束反力矩。
为了将式(a)写成未知量Z1的显式，将R11写为
R11 r11 Z1
Z1=1
R11=r11Z1
产生的约束反力矩。
r 11为单位转角（ Z1 ＝ 1 ）
式（a）变为
r11Z1 R1P 0
其物理意义是，基本结构由于转角Z1及外荷载共同作用， 附加刚臂1处所产生的约束反力矩总和等于零。
由此方程可得
R1P Z1 r11
可见，只要有了系数 r11及自由项R1P，Z1值很容易求得。
为了确定上式中的 R1P 和 r11 ，可先用力法分别求出各
单跨超静定梁在梁端、柱顶1处转动 Z1=1时产生的弯矩图
等截面直杆的物理方程
A B
位 移 法 中 的
基 本 单 跨 梁
A
B
1.转角位移方程
Slope-Deflection Equation
单跨超静定梁在荷载、 温改和支座移动共同作用下
符号规定:
杆端弯矩---绕杆端顺时针为正 杆端剪力---同前 杆端转角---顺时针为正 杆端相对线位移---使杆轴顺时针转为正
及外荷载作用下产生的弯矩图。
Z1=1
r11
M1
R1P
P
Pl 8
P
Pl 8
1
MP图
A
现取 M 1 图、MP图中的结点1为隔离体，由力矩平衡方
程
M
1
0，求出 ：
7 EI r11 l
1 R1P Pl 8
将这些结果代入位移法基本方程中解方程，即得
Pl 2 Z1 56EI
最后，根据叠加原理 M M P M 1 Z1 ，即可求出最后弯 矩图 。
力矩 R11 ，迫使结点 1 正好转 动了一个转角 Z1 ，于是变形 复原到原先给定的结构。
R1P
P
基本结构
=
Z1
+
R11
Z1
结点1正好转动一个转角Z1时，所加的附加约束不再 起作用，其数学表达式为：
R1=0
即外荷载和应有的转角Z1共同作用于基本结构时，附 加约束反力矩等于零。 根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：
AB 6i AB / l
t1
2
6i AB / l
+
M
F AB
转角位移方程 t
固端弯矩
F M BA
6i F M 4 i 2 i M AB A B AB AB l 6 i M 4 i 2 i M F BA B A AB BA l
拆成基本 结构
加上某些条件
原结构的变形协调条件（力法基本方程）
位移法： 先求某些结点位移 结构内力
解题过程：
结构 拆成单根杆件 的组合体
1.杆端位移协调条件 2.结点的平衡条件
加上某些条件
适用范围：
力法: 超静定结构 位移法： 超静定结构，也可用于静定结构。 一般用于结点少而杆件较多的刚架。 例：
转角位移方程(刚度方程) Slope-Deflection (Stiffness) Equation EI 其中： i 称杆件的线刚度。 l F F 为由荷载和温度变化引起的 M AB , M BA 杆端弯矩，称为固端弯矩。
A端固定B端铰支杆的转角位移方程为
B
A
M AB
3i F 3i A AB M AB l
位移法在解题上比较规范，具有通用性，因 而计算机易于实现。 位移法可分为：手算——位移法 电算——矩阵位移法
力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同
力法：以多余未知力基本未知量 位移法：以某些结点位移基本未知量
力法和位移法的解题思路： 力法： 先求多余未知力 结构内力 结构位移
解题过程：
超静定结构
结 构 力 学
讲 授： 刘华良 刘华良 课件制作：
南华大学城建学院道桥系
衡阳
2005年
结 构 力 学 Ⅱ
讲 授： 刘华良 刘华良 课件制作：
南华大学建资学院道桥教研室 衡阳 2005年
第八章 位移法
(Displacement Method)
内
容
位移法的基本概念
等截面直杆的物理方程 位移法基本未知量数目的确定
用位移法计算图示刚架。
为了使问题简化，作如下 计算假定：
1. 在受弯杆件中，略去杆 件的轴向变形和剪切变 形的影响。 2. 假定受弯杆两端之间的 距离保持不变。
由此可知，结点1只有转角Z1，而无线位移，汇交 于结点1的两杆杆端也应有同样的转角Z1。 整个刚架的变形只要用未 知转角Z1来描述，如果能设