基于控制论的数学测试系统应用研究【技术应用】基于控制论的数学测试系统应用研究*□世文菊何彦彬任善恂摘要：数学问题解决能力的高低直接影响到学生学习数学的效率、学习兴趣、学习成绩以及学生学习潜力的开发。
传统的数学教学方式容易使学生形成固定的思维模式，不利于创造性思维的培养。
基于控制论的数学测试系统，将资源科学归类，提供教师辅导和及时诊断服务，注重学科知识的应用和学生间协作意识的培养。
利用该数学测试系统，学生可以及时获得反馈，明晰自己的学习状态和问题；教师可以根据学习过程中学习者的变化状态，不断调整数学训练的内容和方式，制定最佳的教学方案，使学生在控制模型下，不断提高数学问题的解决能力。
关键词：控制论；数学测试系统；问题解决；问题表征；应用研究中图分类号：G434文献标识码：A文章编号：1009-5195（2012）01-0087-05doi10.3969/j.issn.1009-5195.2012.01.014*基金项目：国家社科基金“十一五”规划教育学2007年度重点项目之“中学生问题解决行为模型测量及问题解决策略培养的研究”（CCA070216）。
作者简介：世文菊，硕士研究生，云南大学网络与信息中心；何彦彬，博士研究生，助理研究员，云南大学现代教育技术中心；任善恂，博士，研究员，云南大学现代教育技术中心（云南昆明650091）控制论是1948年美国数学家诺伯特·维纳创立的，它研究如何在系统内控制对象的变化状态，即用最少的信息实现最优的环节，取得最大效果，达到最佳化控制（精确化、定量化、模拟化）（刘斌等，2004）控制论的基本概念是信息和反馈，由这两种概念把本质互相背离的技术系统，如生物系统、社会系统联络起来，使这些系统中调节和控制的机能过程都可以用控制论的方法统一地加以处理，所以控制论又是一门方法论学科。
传统教学中学生解答数学问题时，习惯套用固定模式来解题。
长此以往，学生的思维惰性就会不断增强。
将控制论运用到“一题多解”的数学问题解题中，不仅对知识的掌握具有很大的帮助，而且还能帮助学生在学习过程中，树立良好的学习习惯，摒弃单一追求结果、死记硬背的学习定式，提高学生的数学问题解决能力。
本文试图将控制论的信息与反馈方法应用于“数学测试系统”中，对学生测试后表现出来的差异进行个性化的指导，以获得最佳的教学效果。
一、数学问题在“数学测试系统”中的表征方式数学问题解决的全过程通常包括：从现实情境中提出问题，根据所提问题建立数学模型，运用自身已有的知识经验探求解决问题的思路，寻找规律，对问题进行求解，对解答过程的反思和对结果的评价、应用与推广，这样一个循环往复的过程。
数学问题在“数学测试系统”中的表征方式是指测试系统开发者根据数学教辅资料给出的问题和数学一线教师或专家给出的问题表征规律相结合，通过发现问题的架构、建立问题解决空间的过程，把物理刺激转变为心理符号的过程。
问题表征既是一种过程，也是对问题理解的一种结果，即对问题的理解、内化，问题在头脑中的呈现方式等。
问题表征质量的高低将会直接影响到问题的解决。
（胥兴春等，2001）Kruteskii（1976）和Usiskin（1987）认为，视觉表征能够加强解题者对问题的知觉性理解。
李文馥（1987）和Battista（1990）认为数学关系的空间表象操作能力有助于数学问题解决，它与数学成绩成正相关。
徐凡等人的研究（1992）也证实了小学生空间表征与解决几何问题的能力有很高的相关性。
研究者按两个维度：教师规定题目的难易程度、问题和实际应用的符合程度（概念、基本应用、复杂应用），对测试系统中的数学问题进行区分，并运用测试系统，将传统学习中难以直接考察的解题效率和效果问题通过可视化的方式直观地展现出来，帮助学生及时了解学习情况，开展个性化的学习指导。
二、控制论在“数学测试系统”中的运用数学问题解决能力的高低直接影响到学生学习数学的效率、学习兴趣、学习成绩以及学生学习潜力的开发。
基于控制论的数学测试系统以教学任务和客观条件等信息采集为前提，以信息传输和反馈为纽带，以信息处理为中心，制定最佳教学方案，并在实践中不断调整、控制、完善，以取得最佳效果。
它是由教师、学生、计算机、学科知识点等要素组成的一个相互作用、相互依存的统一体。
教师是系统主要控制者，是信息的处理源，其行使着输入信息、制定教学计划、根据反馈信息调整学习计划，即设计、实施最佳化教学的作用。
学生是系统受控对象之一，也是信息的产生源，接受教师控制指令，产生系统调控信息并自我调节。
控制和受控制是相互作用的，这种作用又构成了反馈控制系统。
教师必须随时注意测试系统中学生的反馈信息，调整和改进教学方法，实现最优化的调控，提高训练效果。
在做题的过程中如果学生纪律不好，干扰信息部分强，也会影响到测试效果。
1.应用原理及流程对于数学问题转变过程的控制离不开信息。
控制者、控制对象、以及影响控制的因素等之间的联系主要在于信息流动。
在测试系统中，教师和学生均是信息的来源。
教师控制着数学知识点的输入，同时又接受着学生对知识点理解程度的信息。
学生的信息输出取决于教师的信息输入，信息输入量的改变取决于信息的有效输出量，而且与学生的可接受性大小有关。
学生经过注册进入测试系统，在有效时间内，有计划地按照知识点的层次梯度和所学教材内容，在知识点练习系统中选取知识点题库中的24个小题进行测试。
（Marzano et al.，2003）完成后，以错题集为依据，总结出错原因。
教师按学生出错原因进行归类，用统计分析方法，找出同类错误的学生，分成小组，对他们进行个性化教学。
学生根据上一次测试结果与教师期望结果的对比，再次进行同一知识点不同选题难度的测试。
经过多次的反馈-控制，达到对这一知识点完整的掌握。
具体调节过程如图1所示。
图1教学过程的控制和调节过程模型在系统中，研究者给知识点的掌握程度进行赋值，即同一知识点连续做24题的正确率如果能达到80%及其以上说明该知识点已基本掌握；（Marzano et al.，2003）若做题的正确率低于80%，则需要调整和控制。
学生测试时，按知识点的表征方式根据难度系数5∶3∶2的比例（容易题12道，中等难度7道，困难题5道）进行随机抽题。
学生在测试系统中的应用模式包括常规做题、控制做题和控制-反馈做题三种。
常规做题就是学生按自己的水平完成系统抽取的24题。
控制做题是辅导教师对学生错题进行讲解后，学生完成同一知识点的再次测试。
控制-反馈做题是学生在控制做题模式下正确率仍然不能达到掌握标准的情况下，辅导教师根据这个信息反馈，调整抽题难度进行控制。
数学测试系统中，教师根据学生不同难度下做题正确率和设定的掌握目标对比，增加或降低抽题难度，以此逐步达到控制的目的。
具体的做题流程如图2：学生进入系统，选取知识点，根据教师设定的题目属性在数据库中随机抽题（24题），在有限时间（3/4小时）内，（Marzano et al.，2003）对知识点进行练习。
辅导教师对学生的做题情况进行跟踪记录，并对记录的结果聚类分析。
本测试系统以正确率80%作为知识掌握的标准，将80%减去控制做题模式下的测试正确率的差值作为同一知识点下一次抽题难度变化的加权系数（期望值和实际值之间的差选作加权系数），进行若干轮控制调整，直至学生掌握该知识点。
图2同一知识点多次做题流程比如：学生A 第一次进入系统开始做题。
24题做完后，辅导教师对她的做题情况进行分析：正确率为41.67%；错题集中分布于典型题类内的中等难度和容易题、历年试题中的困难和容易题、基本运用题类的中等难度题、概念辨析题类的容易题上。
辅导教师对学生进行错题的讲解，同时按调整题目的难度系数（80%-41.67%=38.33%）重新抽题。
第二次做题后学生A 的正确率为62.50%，错教学计划辅导教师数学测试系统学生错题集反馈总结性评价（效率效果）形成性评价进入测试系统选取指数函数开始做题，第一次为常规做题后面是控制模式①常规做题②控制做题③控制-反馈做题抽取24道题目做题正确率是否达到80%下一知识点的练习抽取24道题目调整难度系数（80%-实际达到的正确率），辅导教师整理错题集，学科教师讲解解题方法技巧（做题后正确率达到80%以上）是否【技术应用】基于控制论的数学测试系统应用研究基于控制论的数学测试系统应用研究【技术应用】题的种类集中于基本运用题类的困难和中等难度题目上。
辅导教师除再一次调整题目的难度系数外，需对学生的错题分类统计，请学科任课教师对错题的解题方法、基本概念、以及应用的范畴进行讲解。
学生经过加强知识点的理解后，第三次进入系统做题，正确率达到87.5%，达到掌握此知识点的程度，可进入下一知识点的学习或同一知识点解题能力的提升过程。
当学生在某一抽题策略下正确率达标以后，可以通过反向调整将抽题难度逐步提高，以达到提升解题能力的目的。
调整趋势图如下:图3调整趋势图如图3所示，若学生的测试结果在难度系数为易时，正确率无法达到掌握标准，则代表学生需要对该知识点进行补习、辅导或者重新学习。
若学生的测试结果在某一难度系数下正确率达标（处于l 1或者l 3状态时），则可以通过调整难度系数，按照路径l 4、l 5达到该知识点的理想掌握状态。
路径l 2代表学生随题目难度系数不断向下调整，逐渐达到较低层次掌握程度的过程。
辅导教师应该根据学生反馈信息不断调整学生的抽题策略以及难度系数，使学生不断加深对知识点的理解，并不断提升学生数学解题能力。
教师可以通过访谈法，记录学生在测试过程中遇到的问题和需要，以此作为调整教学策略的依据。
辅导教师还可以通过查看学生的做题情况，了解其对知识点的掌握程度，根据具体情况制定帮助计划。
总之，辅导教师结合系统内外各种因素，不断调整学生的学习计划，通过难度系数的调整，使要达到的学习目标贴近学生的实际情况，使学生更积极地参与学习。
2.反馈信息在测试系统中的应用反馈信息是将已产生控制作用的效果作为我们下一步控制作用设计的依据和参考。
即诺伯特·维纳指出的“把系统过去的演绩再插进它里面去，以控制这个系统的方法”。
它的最大优点在于：任何误差，不论其来源如何都可利用这个原理加以消除。
（刘斌等，2004）因此，当系统受到干扰时，这种控制方法就显得更有力。
反馈信息在“数学测试系统”中主要用于一次课或者是一周课的训练教学。
在训练的过程中，教师需要事先作好教学计划，教学计划作为输入信息作用于教学。
对教学周期和过程实行控制时，测试系统的内部结构和功能状态会发生一系列变化，这些变化就是教学计划执行结果产生的实际效果演绩。
由此，可取得若干输出信息。
将输出信息同预想要达到的期望信息比较。
修正计划，重新输入，再作用于训练，如此往复的过程。