第三章《直线与方程》单元检测试题时间12０分钟,满分150分。

一、选择题(本大题共1２个小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．已知点A（1，错误!)，B（－１，3错误!),则直线AB的倾斜角是( )Ａ.60°ﻩB.3０°Ｃ．1２0°D．150°[答案] C2．直线l过点P(-1,2)，倾斜角为45°，则直线l的方程为（ )A.x-y+1＝0B.ｘ-ｙ－1＝0C．ｘ－y-3=０ﻩＤ.x－y＋3=0[答案］D3．如果直线aｘ+2ｙ＋2=0与直线3x－y－2＝0平行，则ａ的值为（ )A.-3 ﻩB．-６C.错误!ﻩＤ.错误![答案] B4.直线错误!－错误!=１在y轴上的截距为( ）A.|b|B.－b2Ｃ．ｂ2 D.±b[答案] B5．已知点A(3，2)，B(-2，ａ)，C(8,1２)在同一条直线上，则ａ的值是( )Ａ．0 ﻩB．-4C．－8 D．4［答案］ C6.如果ＡB<0，BC<0,那么直线Ax＋By＋Ｃ＝０不经过( )A.第一象限ﻩB．第二象限Ｃ.第三象限Ｄ．第四象限[答案］D7.已知点A(１,-2)，B(ｍ，2)，且线段AＢ的垂直平分线的方程是x＋2y-2＝0,则实数m的值是( )A．－２ﻩB．-7Ｃ．3 D．1[答案] C8.经过直线l 1：ｘ－3y +4=0和l 2：2ｘ+y ＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是( )A.１9x －9ｙ=0 ﻩB ．9ｘ+1９y ＝0 C.3x +19ｙ=０ ﻩD ．19x -３y =0 ［答案] C9.已知直线(3ｋ－1)ｘ＋(k +2)ｙ-k ＝0,则当ｋ变化时,所有直线都通过定点( ) Ａ．(０,０）Ｂ．(＼f(1，7),错误!)Ｃ.(＼f(2,7)，17) ﻩD ．(错误!，错误!）［答案] C10．直线x -2y +1=0关于直线ｘ＝１对称的直线方程是( ) Ａ.x ＋2y －1=0 B ．2x +y －１＝0 C ．2ｘ+ｙ－３=0 Ｄ．x ＋2y －3=0 ［答案] D1１.已知直线l 的倾斜角为1３5°，直线l 1经过点A (3,２）,B （ａ，－1),且ｌ1与l 垂直，直线l ２：２x +by +1=0与直线l 1平行，则a +b 等于（ ）A ．－４B ．－2C ．0 D.２［答案] B12.等腰直角三角形AB Ｃ中,∠C =90°，若点Ａ，C 的坐标分别为(0,４)，(3,3)，则点Ｂ的坐标可能是（ ）Ａ．(2，０)或（4,6) B.(2,0)或(6，４)C ．(4,6) ﻩD.(0，2) ［答案］ A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中的横线上) １3.直线l 与直线ｙ＝１，x －y -7=0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为Ｍ(1,－1),则直线l 的斜率为____＿___＿.[答案] －错误!［解析] 设A (ｘ1,y 1)，B （x 2，y 2),则ｙ1+y ２2＝-１,又ｙ1=1，∴y ２=-3，代入方程x -y －7=０,得x 2=4,即B (4,－3),又错误!=1，∴x １=－2，即A (－2,１)，∴k AB ＝错误!=－错误!．１４.点Ａ(３,－4)与点B （5，8)关于直线ｌ对称，则直线l 的方程为＿_______＿. [答案] x ＋6y －１6=0[解析］ 直线l 就是线段AB 的垂直平分线，AB 的中点为(4，2),k AB =6,所以k l =-＼f(1,６），所以直线l 的方程为ｙ－2＝－＼f(１,6)（x －4)，即ｘ+6ｙ-１6＝0．15．若动点A ,Ｂ分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2:x ＋y -5＝0上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________＿.[答案] 3错误![解析] 依题意,知l 1∥l 2，故点Ｍ所在直线平行于l 1和ｌ２,可设点M 所在直线的方程为l :x +ｙ＋ｍ=0,根据平行线间的距离公式,得|m ＋7｜2=错误!⇒|m ＋７｜=|m +5|⇒m ＝－６,即l ：x ＋ｙ－6＝0，根据点到直线的距离公式,得M 到原点的距离的最小值为|-６|＼r(2)＝3＼ｒ（2）.16.若直线ｍ被两平行线l 1：ｘ-y ＋1=０与l 2:ｘ－y ＋3=0所截得的线段的长为２错误!,则ｍ的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④6０° ⑤75°，其中正确答案的序号是_＿_＿__＿__.(写出所有正确答案的序号）[答案］ ①⑤[解析］ 两平行线间的距离为d ＝错误!=错误!,由图知直线ｍ与ｌ1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°,所以直线m 的倾斜角等于3０°＋45°＝7５°或45°－30°＝１５°.[点评] 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离,考查数形结合的思想．是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻,这一问题还是不难解决的．所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂,只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变.三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)１7.(本小题满分1０分）(2015·河南省郑州市高一上学期期末试题)已知直线l 经过点P (-２,5)且斜率为－错误!，(１）求直线l 的方程;(２)若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3,求直线m 的方程． [解析] （1）直线ｌ的方程为：ｙ－5＝-＼f （3,4）(x ＋2)整理得 3x ＋4ｙ-1４＝０.(２)设直线m 的方程为3ｘ+4y +n =0,d ＝＼ｆ（|3×－2+4×５+ｎ|,＼ｒ(32+42))＝3,解得n =１或-２9.∴直线m 的方程为3x ＋４y ＋1＝0或３ｘ+4y －29＝０.１８．(本小题满分１２分)求经过两直线3x －2y ＋1＝0和x ＋3ｙ+４=０的交点，且垂直于直线x +3y +4=０的直线方程.[解析] 解法一：设所求直线方程为3x -2y ＋1＋λ(x ＋３ｙ+4)＝０,即(3+λ）ｘ+(3λ-２)ｙ＋（1＋4λ)=0.由所求直线垂直于直线x +３y +4＝0,得 -错误!·（-错误!)＝-1. 解得λ＝错误!．故所求直线方程是３ｘ－y +2=０. 解法二：设所求直线方程为3ｘ-y +m =0． 由错误!解得错误!即两已知直线的交点为(－１，-１)． 又３x -y +m ＝0过点（－1，－1), 故－3＋１＋ｍ=0,ｍ=2.故所求直线方程为３ｘ－y +2=０．19.(本小题满分12分)已知A (4，－3）,B （２,－1)和直线l :４x +3y -2=0,求一点Ｐ,使|P Ａ|＝|P Ｂ|，且点P 到直线l 的距离等于2.[分析] 解决此题可有两种思路,一是代数法，由“|ＰＡ|=｜P Ｂ|”和“到直线的距离为2”列方程求解；二是几何法，利用点P 在A Ｂ的垂直平分线上及距离为２求解.［解析] 解法1:设点P （x ,y ）.因为|PA |=|PB ｜， 所以x -42+y ＋3２＝错误!. ①又点Ｐ到直线l 的距离等于２, 所以错误!=2．②由①②联立方程组,解得P (１，－4)或P （２7７,－＼ｆ（8,７)).解法2：设点Ｐ(x ，ｙ).因为|P Ａ｜=｜P Ｂ｜， 所以点P 在线段AB 的垂直平分线上.由题意知ｋA Ｂ=－1,线段ＡB 的中点为(3,－2),所以线段AB 的垂直平分线的方程是y ＝x －5．所以设点P (x ,x -5)．因为点P 到直线ｌ的距离等于2，所以错误!＝2. 解得x ＝1或ｘ＝错误!.所以P （１,－4)或P (＼ｆ(27,７)，-＼ｆ(8,7))．[点评］ 解决解析几何问题的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置，所以只要将题目中的几何条件用坐标表示出来，即可转化为方程的问题.其中解法2是利用了点Ｐ的几何特征产生的结果，所以解题时注意多发现，多思考.2０.(本小题满分１2分)△ＡＢC 中,A (0,1)，AB 边上的高CD 所在直线的方程为ｘ+2y -4＝０,AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x +y -３＝０.(1)求直线ＡＢ的方程; （2)求直线BC 的方程; （３)求△BDE 的面积．［解析] (１)由已知得直线ＡB 的斜率为2, ∴ＡB 边所在的直线方程为y －1＝2(x -０）， 即2x －y +1＝０. （２）由错误!得错误!即直线ＡB 与直线BE 的交点为Ｂ(错误!，2)． 设C （m ，n )， 则由已知条件得错误! 解得错误!∴C （２,1）.∴BC 边所在直线的方程为错误!＝错误!,即2x ＋3ｙ－7＝0. (3)∵Ｅ是线段A Ｃ的中点，∴Ｅ(1,1)． ∴|BE |＝错误!＝错误!， 由错误!得错误! ∴D (25,错误!),∴D 到BE 的距离为ｄ＝错误!=错误!， ∴Ｓ△BDE =12·d ·|B Ｅ｜=错误!.21．(本小题满分１2分）直线过点P (错误!，2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点,O 为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:(１)△AOB 的周长为1２; (2)△AO Ｂ的面积为6.若存在,求直线的方程；若不存在，请说明理由.[解析］ 设直线方程为＼f （x,a ）+＼f(ｙ，b ）＝1(a >0，b >0), 若满足条件(１）,则a +ｂ＋a ２+b 2＝１2,① 又∵直线过点P (错误!,2)，∵错误!+错误!＝1.② 由①②可得5a 2-３2ａ＋4８＝0， 解得错误!或错误!∴所求直线的方程为＼f(x,4)＋错误!＝1或错误!＋错误!=1, 即3x +4y －1２＝０或15x +8ｙ－36=0.若满足条件（２）,则a ｂ＝12，③ 由题意得,错误!＋错误!＝1,④ 由③④整理得ａ2－６a +8=0， 解得错误!或错误!∴所求直线的方程为＼f(x,4）+错误!=１或错误!+错误!＝1, 即3x ＋4y -12=０或3x ＋ｙ－6=0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x +4y －1２＝０.２2．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ＡBCD 的长为２,宽为１，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上.(1)若折痕所在直线的斜率为k ,试求折痕所在直线的方程; (２)当－2＋错误!≤k ≤0时，求折痕长的最大值.［解析] (1）①当k ＝０时,A 点与D 点重合,折痕所在的直线方程为y ＝错误!. ②当ｋ≠0时,将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为G (a,1), ∴A 与G 关于折痕所在的直线对称,有ｋO Ｇ·k =-1⇒＼f （1,a ）·ｋ＝-1⇒ａ=-k . 故G 点坐标为(－k,1），从而折痕所在直线与OG 的交点坐标(即线段OG 的中点)为M （－错误!，错误!). 故折痕所在的直线方程为ｙ－错误!=k (x +错误!)，即y ＝kx ＋错误!+错误!． 由①②得折痕所在的直线方程为y ＝kx ＋错误!+错误!. (2）当k =0时,折痕的长为2.当－2+错误!≤k ＜０时，折痕所在直线交直线B Ｃ于点E (2,２k ＋错误!＋错误!)， 交y 轴于点N (0,k ２＋12）.则|NE |2＝2２＋[＼f(k 2＋1,２)－(２k ＋＼ｆ(k 2,2)+错误!)]２=4+4k 2≤4+４(7-4错误!)＝32－16错误!.此时,折痕长度的最大值为错误!=２(错误!－错误!）. 而2（错误!-错误!)>2,故折痕长度的最大值为2(错误!－错误!).。