天材教育学科教师辅导讲义
分式方程
【知识梳理】
A
1.分式概念：若A、B表示两个整式，且B中含有字母，则代数式一叫做分式.
B
2•分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分：
3 .分式运算
4•分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程.
5. 了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根.
【思想方法】
1. 类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）
2. 检验
【例题精讲】
八“x22x 1 x 1
1.化简：22
X 1 XX
2
x 2x 2x 4 卄亠小匚
2 •先化简，再求值：2x 2 ，其中x 2 V2 .
x24 x 2
1 x
3 •先化简（1 ）2x，然后请你给x选取一个合适值，再求此时原式的值.
x 1 x 1
「小 5 1 - x 2 x 2 16
4 •解下列万程（1） 2 20 （2）2
x 3x x x x 2 x 2 x 4
则根据题意所列方程正确的是()
312 312 d312 312 ,
=1 _ = 1 A. x x—2& B.兀+ X
巫-匹=1 21L-竺"
c.工X十% D. X—2戌X
(二) 无理方程
【一】知识梳理：
1、无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.
2、有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数
方程.
3、解无理方程基本思路：通过乘方，把无理方程转化为有理方程.
4、无理方程的增根：(解无理方程验根的必要性)
乘方之后所得整式方程的根，代入原无理方程检验得不是原无理方程的根.
5、解分式方程基本步骤：
① 去根号，把无理方程化为有理方程；『例题选讲〗
」、选择：
1、下列方程中，不是无理方程的是(
)
(A) “x 1 x ；(B) 、2x .3 1 ；
2、下列方程中，有实数根的方程是(
(A)、x2 1 0 ；(B) x 2 0 ；
2
3、下列正确的是( )
(A)方程x 2x 3的根是1和3;
(C)方程x 1 7 x的根是x 10;
4、方程x2 4x 4 x 2的根的情况是(
(A)无实数根；(B)只有x=2 一个根；习题：
一.填空题：
1 .方程口1分式方程.(填
② 解这个有理方程；③ 验根；④写出原方程的根.
(C) . x2 2 . x 1 1 ；(D) 2x , 3 x 1 .
(C) x 1 2 ；(D)、x 1 T x 2.
(B)方程i x2 2x 1 4 0的根是x=5；
(D) 方程.、2y 3 y的根是y 1 .
)
(C)有无数多个实数根；(D)只有两个实数根. “是”或“不是”)
2.
3.
4. 分式方程!£ 竺的根是______________
x x 1
如果代数式X 1的值是2，那么x =
x 3 3
2
方程 1 0 _______
x V2 <3 1
无理方程•（填“是”或“不是”）
5.
6.
方程x2已知线段
7 . 分式方程
16 3的解是___________________ .
AB=10cm点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP则AP=
7 3
2 2
x x x
的最简公分母是
1
8. 分式方程8(x22x)
x2 1
3x2 3
2 x 2x
11，如果设
cm.
x：2x y，那么原方程可以化为
x 1
9. 已知：I n R(nR
180 0 ），
则R= .（用n、丨的代数式表示
R）
10.用换元法解无理方程x2 5x 2° x2 5x 1 2，如果设.x2 5x 1 y，则原方程可以化为
11
. 12
.在解分式方程时，可以通过去分母或换元法将它转化为整式方程，体现了
无理方程* x 2 4 0无解的依据是_________________________________ .
数学思想.
13
. 14
.已知点P的坐标为（x, 3）,A（4，- 1）,如果PA=6,那么可得到方程分式方程1
15 .如果1 4
x
16 .已知方程x
x -
1
4
2
x
1
17 .
x 在解分式方程时, 法来解.
18
.R1 19
.
当x=
20
.
1的解x =
2
那么2的值是____________________ .
x
1 1 1
一的两根分别为a、-，则方程x
a a x 1
1
a -------- 的根是
a 1
除了用去分母方法以外，对于某些特殊的分式方程，还可以用（R R2），如果用R、R表示R,则R=
时，代数式—7x
_4x
与釦卫的值互为倒数.
x 3 5
方程-x 50 .x 20 0的根是; 方程（x 50）（x 20）0的根是
21.某数的正的平方根比它的倒数的正的平方根的10倍多3，如设某数为x，贝U可列出方程
22.已知<x 1 vy 2 0,则xy= __________________
23. ____________________________________________________
解分式方程二2 工产生增根，则m= _________________________
x 3 x 3
24. 方程x 2的根是 ___________________ .
25.方程x 0的解是 ____________________
26.若代数式害的值为。

，则x= ----------------------------------
27. 解分式方程x2—3(x 2)，如果设x - y，原方程则可以化为_______________
x x x
5
28. 方程x - 6的解是_________________________ .
x
一.选择题：
1 •方程X? 40的根是
2 x
(A) x 1=2, X2=—2; (B) x 1=2;
1 2
2. 方程1 2的根是
x 1 x 2
(A) X1=1,X2=2; (B) x =1;
3. 下列方程中，有实数解的是(C) x = —2; (D) 以上答案都不对•
( )
(C) x =2; (D) x =0.
( )
x; (D) . x 5 x 1 0.
4.设y=x2+x+1.则方程x2x 122可化为
x x
(
(A) y 2—y —2=0;
2
(B) y +y+2=0;(C) y 2+y—2=0;(D) y 2—y+2=0.
5.分式方程9609604的解是(
x x 20
(A) x=60; (B)x= —80; (C)x 1=60, X2= —80;(D) x 1= —60, X2=80 (A) x 2 1 0;(B) 3 x x 4 ;(C) x 2
简答题: ) )
1. 解方程(一^)25(—^) 6 0
x 1 x 1
1 4x 2
2. ------------------------------------解方程-4x 1
x 2 x 4 2 x
3 .用换元法解方程x2 3x x x2 3x 5 1
3 1 13
4.解方程组3x 2y 4x y
4 6
3x 2y y 4x 12 3。