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根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系习题主编:闫老师[准备知识回顾]: 1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 。

2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为:ac b 42-=∆(1) 当0>∆时,方程有两个不相等的实数根。

(2) 当0=∆时,方程有两个相等的实数根。

(3) 当0<∆时,方程没有实数根。

反之:方程有两个不相等的实数根,则 ;方程有两个相等的实数根,则 ;方程没有实数根,则 。

[韦达定理相关知识]1若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和,那么=+21x x ,=•21x x 。

我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称韦达定理。

2、如果一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和,则=+21x x ,=•21x x 。

3、以21x x 和为根的一元二次方程(二次项系数为1)是0)(21212=•++-x x x x x x4、在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,有一根为0,则=c ;有一根为1,则=++c b a ;有一根为1-,则=+-c b a ;若两根互为倒数,则=c ;若两根互为相反数,则=b 。

5、二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时,如果可用公式求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和,那么))((212x x x x a c bx ax --=++.如果方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用]例1:已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1,则另一个根是 ,=k 。

解:变式训练:1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根,则另一根和k 的值分别是多少?2、方程062=--kx x 的两个根都是整数,则k 的值是多少?例2:设21x x 和是方程03422=-+x x ,的两个根,利用根与系数关系求下列各式的值:(1)2221x x + (2))1)(1(21++x x (3)2111x x + (4)221)(x x -变式训练:1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根,求满足下列条件的k 值: (1)有两个实数根。

(2)有两个正实数根。

(3)有一个正数根和一个负数根。

(4)两个根都小于2。

2、已知关于x 的方程022=+-a ax x 。

(1)求证:方程必有两个不相等的实数根。

(2)a 取何值时,方程有两个正根。

(3)a 取何值时,方程有两异号根,且负根绝对值较大。

(4)a 取何值时,方程到少有一根为零?选用例题:例3:已知方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之比为1:2,判别式的值为1,则b a 与是多少?例4、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根,并且这两个根的平方和比两个根的积大16,求m 的值。

例5、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同,求m 的值。

基础训练:1.关于x 的方程0122=+-x ax 中,如果0<a ,那么根的情况是( ) (A )有两个相等的实数根 (B )有两个不相等的实数根 (C )没有实数根 (D )不能确定2.设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根,则2221x x +的值是( ) (A )15 (B )12 (C )6 (D )33.下列方程中,有两个相等的实数根的是( )(A ) 2y 2+5=6y (B )x 2+5=2 5 x (C ) 3 x 2- 2 x+2=0(D )3x 2-2 6 x+1=0 4.以方程x 2+2x -3=0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是( ) (A ) y 2+5y -6=0 (B )y 2+5y +6=0 (C )y 2-5y +6=0 (D )y 2-5y -6=0 5.如果x 1,x 2是两个不相等实数,且满足x 12-2x 1=1,x 22-2x 2=1, 那么x 1·x 2等于( )(A )2 (B )-2 (C )1 (D )-16.关于x 的方程ax 2-2x +1=0中,如果a<0,那么根的情况是( ) (A )有两个相等的实数根 (B )有两个不相等的实数根 (C )没有实数根 (D )不能确定7.设x 1,x 2是方程2x 2-6x +3=0的两根,则x 12+x 22的值是( ) (A )15 (B )12 (C )6 (D )38.如果一元二次方程x 2+4x +k 2=0有两个相等的实数根,那么k = 9.如果关于x 的方程2x 2-(4k+1)x +2 k 2-1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值围是10.已知x1,x2是方程2x2-7x+4=0的两根,则x1+x2=,x1·x2=,(x1-x2)2=11.若关于x的方程(m2-2)x2-(m-2)x+1=0的两个根互为倒数,则m= .二、能力训练:1、不解方程,判别下列方程根的情况:(1)x2-x=5 (2)9x2-6 2 +2=0 (3)x2-x+2=02、当m= 时,方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根;当m= 时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根;3、已知关于x的方程10x2-(m+3)x+m-7=0,若有一个根为0,则m= ,这时方程的另一个根是;若两根之和为-35,则m= ,这时方程的两个根为 .4、已知3- 2 是方程x2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m的值。

5、求证:方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1- 5 和1+ 5 。

7、设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值:(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2x1+x1x2(3)x12+ x1x2+2 x18、如果x2-2(m+1)x+m2+5是一个完全平方式,则m= ;9、方程2x(mx-4)=x2-6没有实数根,则最小的整数m= ;10、已知方程2(x-1)(x-3m)=x(m-4)两根的和与两根的积相等,则m= ;11、设关于x的方程x2-6x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20,则k值为 ;12、设方程4x2-7x+3=0的两根为x1,x2,不解方程,求下列各式的值:(1) x12+x22 (2)x1-x2(3)21xx (4)x1x22+12x113、实数s、t分别满足方程19s2+99s+1=0和且19+99t+t2=0求代数式st+4s+1t 的值。

14、已知a 是实数,且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x 2+2ax+1-12 (a 2x 2-a 2-1)=0有无实根?15、求证:不论k 为何实数,关于x 的式子(x -1)(x -2)-k 2都可以分解成两个一次因式的积。

16、实数K 在什么围取值时,方程0)1()1(22=---+k x k kx 有实数正根?训练(一)1、不解方程,请判别下列方程根的情况;(1)2t2+3t-4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;(3)5(u2+1)-7u=0, ;2、若方程x2-(2m-1)x+m2+1=0有实数根,则m的取值围是 ;3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2- 3 ,则p= ,q= ;4、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是,m= ;5、若方程x2+mx-1=0的两个实数根互为相反数,那么m的值是 ;6、m,n是关于x 的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根,则代数式m n= 。

7、已知关于x的方程x2-(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值;8、如果α和β是方程2x2+3x-1=0的两个根,利用根与系数关系,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别等于α+1β和β+1α;9、已知a,b,c是三角形的三边长,且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证:这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x2-(4k+1)x+2k2-1可因式分解.11.已知关于X的一元二次方程m2x2+2(3-m)x+1=0的两实数根为α,β,若s=1α+1β,求s的取值围。

训练(二)1、已知方程x2-3x+1=0的两个根为α,β,则α+β= , αβ= ;2、如果关于x的方程x2-4x+m=0与x2-x-2m=0有一个根相同,则m的值为 ;3、已知方程2x2-3x+k=0的两根之差为212,则k= ;4、若方程x2+(a2-2)x-3=0的两根是1和-3,则a= ;5、方程4x2-2(a-b)x-ab=0的根的判别式的值是 ;6、若关于x的方程x2+2(m-1)x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为 ;7、已知p<0,q<0,则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是 ;8、以方程x 2-3x -1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、设x 1,x 2是方程2x 2-6x+3=0的两个根,求下列各式的值:(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 -1x 210.m 取什么值时,方程2x 2-(4m+1)x+2m 2-1=0(1)有两个不相等的实数根,(2)有两个相等的实数根,(3)没有实数根;11.设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值。

12.是否存在实数k ,使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实根21,x x ,满足21x x =32,如果存在,试求出所有满足条件的k 的值,如果不存在,请说明理由。

一元二次方程根与系数关系专题训练主编:闫老师1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2,那么x 1+x 2= ,x 1·x 2= 。

2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x -4=0的两个根,那么:x 1+x 2= ;x 1·x 2= ;2111x x ;x 21+x 22= ;(x 1+1)(x 2+1)= ;|x 1-x 2|= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。

4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1-2,那么另一个根是 ,a 的值为 。

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