专题04 根与系数关系
阅读与思考
根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定
理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在：
1．求方程中字母系数的值或取值范围；
2．求代数式的值；
3．结合根的判别式，判断根的符号特征；
4．构造一元二次方程；
5．证明代数等式、不等式．
当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找
到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，
需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的
关系解题时，必须满足判别式△≥0．
例题与求解
【例1】设关于x 的二次方程22
(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.
【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取
值范围是_________.
A ．01m ≤≤
B ．34m ≥
C ．314m <≤
D ．314
m ≤≤
【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求
223βα+的值．
【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求
41st s t ++的值．
【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式
1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236
x y z a xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；
（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的
值．
【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于
1的根．
能力训练
A 级
1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=2，那么m n += ．
2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ．
3．当m = 时，关于x 的方程22
8(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数；
当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m
的方程2
3280x x m ++-=有两个大于2-的根．
4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为 ,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)
(2)(2)a b a b a b +++=------ ． 5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ）
A ．31-或
B ．3-
C ．1
D ．12k ≥
的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则
（ ）
A ．12m n >⎧⎨>⎩
B ．12m n >⎧⎨<⎩
C ．12m n <⎧⎨>⎩
D ．12m n <⎧⎨<⎩
7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）
A ．正数
B ．零
C ．负数
D ．不大于零的数
8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程 22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）
A ．3-
B ．5
C ．53-或
D ．53-或
9．已知关于x 的方程：2
2
(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．。