1． 离散型随机变量及其分布列⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y L 表示．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率,)n L 列表表示：X 1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n pX 的分布列．2．几类典型的随机分布⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为X 1 0 P p q其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布．X 1P 0.8 0.2两点分布又称01-布又称为伯努利分布．⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，知识内容超几何分布M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．⑶二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n kn n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ． 2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =L ．于是得到X 01… k… nP00C nn p q111C n n p q- … C k k n kn p q- 0C n n n p q由式001110()C C C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++L L各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑷正态分布1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()2()2πx f x μσσ--=⋅，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率x=μOy x是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．⑷若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称22()2t x x e dt φ-=⎰π为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．3．离散型随机变量的期望与方差1．离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++L ，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）．离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-L 叫做这个离散型随机变量X 的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．()D X ()D x 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3．X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，； 4． 典型分布的期望与方差：⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．⑵二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑶超几何分布：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，则()nME X N=，2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-．4．事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯I I L I L ，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．5．条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =I （或D AB =）．【例1】 一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，从中任意取4个，则取到新球的个数的期望值是 ．【考点】超几何分布 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】超几何分布，472.810⨯=． 【答案】2.8；【例2】 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6题，规定每次考试都从备选题中随机抽出5题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值．【考点】超几何分布 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设答对的试题数为ξ，则ξ服从参数为1065，，的超几何分布，因此由公式知他答对题数的期望为56310E ξ⨯==． 故他得分的期望值为20360⨯=分． 【答案】60．【例3】 以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．【考点】超几何分布 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设女性委员的人数为X ，则X 服从参数为(835)，，的超几何分布，其概率分布典例分析为1153010(0)(1)(2)(3)56565656P X P X P X P X ========，，，， 期望3515()88E X ⨯==，方差25(85)(83)3225()0.50228(81)448D X ⨯-⨯-⨯==≈⨯-． 【答案】概率分布：1153010(0)(1)(2)(3)56565656P X P X P X P X ========，，，，期望：158，方差：0.5022．【例4】 在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数．求ξη，的期望值及方差．【考点】超几何分布 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】抽取样本连续抽取3次，也可认为一次抽取3个，所以ξ服从参数为1223，，的超几何分布．η服从参数为12103，，的超几何分布．且3ξη+=． 于是223153(123)2(122)153122212(121)44E E E D ξηξξ⨯-⨯-===-===-，，， 215(1)44D D ηξ=-=． 【答案】15152244E E D ξηξ===，，，1544D η=．【例5】 某人可从一个内有2张100元，3张50元的袋子里任取2张，求他获得钱数的期望值．【考点】超几何分布 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】方法一：设他取得100元的张数为X ，则X 服从参数为522，，的超几何分布．021120232323222555C C C C C C 361(0)(1)(2)C 10C 10C 10P X P X P X =========，，． 012X =，，时他所获得的钱数分别为100150200，，． 因此他获得钱数的期望值为：100(0)150(1)200(2)140P X P X P X =+=+==元．方法二：设他取得100元的张数为X ，则X 服从参数为522，，的超几何分布．由公式知22455EX ⨯==． 因此他获得钱数的期望值为：4410050(2)14055⨯+⨯-=元．【答案】140．【例6】 某人有一张100元与4张10元，他从中随机地取出2张给孙儿、孙女，每人一张，求孙儿获得钱数的期望值．【考点】超几何分布 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】方法一：设他取出100元的张数为X ，则X 服从参数为512，，的超几何分布．021114142255C C C C 64(0)(1)C 10C 10P X P X ======，． 01X =，时他所取出的钱数分别为20110，．因此他取出钱数的期望值为：20(0)110(1)124456P X P X =+==+=．孙儿获得钱数的期望值为156282⋅=．方法二：设他取得100元的张数为X ，则X 服从参数为512，，的超几何分布．由公式知12255EX ⨯==．因此他取出钱数的期望值为：2210010(2)5655⨯+⨯-=元．【答案】56．【例7】 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数．⑴ 求X 的分布列；⑵ 求X 的数学期望与方差；⑶ 求“所选3人中女生人数1X ≤”的概率．【考点】超几何分布【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴ X 可能取的值为012，，．32436C C ()012C k kP X k k -⋅===，，，． 所以，的分布列为X1 2P15 35 15⑵ 由⑴，X 的数学期望为()0121555E X =⨯+⨯+⨯=；（注：X 服从参数为632，，的超几何分布，故由公式得32()16E X ⨯==） 2221312()(01)(11)(21)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=；⑶ 由⑴，“所选3人中女生人数1X ≤”的概率为4(1)(0)(1)5P X P X P X ==+==≤．【答案】⑴X 012P15 3515⑵ ()1E X =；()5D X =； ⑶45．【例8】 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．⑴ 求甲答对试题数X 的分布列、数学期望与方差； ⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．【考点】超几何分布【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴ 依题意，X 可能取的值为0123，，，，364310C C ()0123C k k P X k k -⋅===，，，，． X 0123P1303101216甲答对试题数X 的数学期望119()01233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 222291939191()01235305105256D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1425=；（注：X 服从参数为1063，，的超几何分布，故由公式得369()105E X ⨯==）⑵ 设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则112()263P A =+=，213828310C C C 565614()C 12015P B ++===． 因为事件A 、B 相互独立， 法一： ∴甲、乙两人考试均不合格的概率为2141()()()1131545P A B P A P B ⎛⎫⎛⎫⋅==--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1441()14545P P A B =-⋅=-=． 法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++211142144431531531545=⨯+⨯+⨯=．【答案】⑴ X 0123P13031012169()5E X =．()D X =25；⑵ 45．【例9】 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．⑴若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，求得到白球的个数的数学期望；⑵求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．【考点】超几何分布 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2008年，浙江高考【解析】⑴设袋中白球的个数为x ，则“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”的概率为：210210C 71C 9x --=，解得5x =．即白球有5个．设从袋中任意摸出3个球，得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ服从参数为1053，，的超几何分布．因此数学期望为：351.510E ξ⨯==．⑵设袋中有n 个球，则由题意其中黑球个数为25n ，因此5*n k k =∈N ≥5()．设从袋中任意摸出2个球，得到黑球的个数为X ，则X 服从参数为225n n ，，的超几何分布．因此020.40.62C C (1)1(0)1C n nnP X P X =-==-≥．要证020.40.62C C 71C 10n nn -≤，只需证20.62C 3C 10n n ≥，即0.6(0.61)3(1)10n n n n --≥， 只需证0.6(0.61)103(1)n n -⨯-≥，该式化简后即为n ≥5，这是成立的．因此从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710．又已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是77910>，所以白球比黑球多，从而红球的个数最少．【答案】⑴ 1.5E ξ=．⑵设袋中有n 个球，则由题意其中黑球个数为25n ，因此5*n k k =∈N ≥5()．设从袋中任意摸出2个球，得到黑球的个数为X ，则X 服从参数为225n n ，，的超几何分布．因此020.40.62C C (1)1(0)1C n nnP X P X =-==-≥．要证020.40.62C C 71C 10n nn -≤，只需证20.62C 3C 10n n ≥，即0.6(0.61)3(1)10n n n n --≥， 只需证0.6(0.61)103(1)n n -⨯-≥，该式化简后即为n ≥5，这是成立的．因此从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710．又已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是77910>，所以白球比黑球多，从而红球的个数最少．。