解 ： 由几何概率的计算不难求出X的分布函数 当x<0时
所以：
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第二节 离散型随机变量及其分布
如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无 限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。
设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2,…),事
件
发生的概率为pk ,即
总计
观察到的次数 Mk 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 16 2608
频率
0.022 0.078 0.147 0.201 0.204 0.156 0.105 0.053 0.017 0.010 0.006 0.999
按泊松分布
计算的概率 0.021 0.081 0.156 0.201 0.195 0.151 0.097 0.054 0.026 0.011 0.007 1.000
（2）各小块是否放出粒子,是相互独立的。
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在这两条假定下，1秒内这一放射性物质放出k个粒 子这一事件，可近似看作该物质的n个独立的小块中， 恰有k小块放出粒子。
放出k个粒子的概率：
其中P{X=k}是随n而变的，它是一个近似式。 把物质无限细分， 得到 P{X=k} 的精 确式，即
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例5： 有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已 知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故 障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保 证设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.01？ 解： 设X表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知 X~(300,0.01)，若配备N位维修人员，所需解决的问题是
泊松定理 设 λ>0是一常数，n是任意整数，设npn=λ，则 对任意一固定的非负整数k，有
证 明
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从而
定理的条件npn=λ，意味着n很大时候pn必定很小。 因此当n很大，p很小时有近似公式
其中λ=np。
在实际计算中，当
时用
作为
的近似值效果很好。
而当
时效果更佳。
（λ=np）
的值有表可查。
确定最小的N，使得：P{X>N}<0.01 （λ=np=3）
查表可知，满足上式最小的N是8。 至少需配备8个工人才能满足要求。 上一页 下一页 返回
泊松(Poisson)分布 设随机变量X的所有可能取值为0,1,,而取各值
的概率为
其中λ>0为常数,则称X服从参数为的泊松分布，记 为X~ ()。
由泊松定理知
其中
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第三节 连续随机变量及其分布
定义3: 设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负 函数f(t),使得对于任意实数x，有
则称X为连续型随机变量，称f(t)为X的概率密度函数， 简称概率密度或分布密度。 概率密度f(x)具有以下性质：
（4）若x为f(x)的连续点，则有
称为随机变量X的概率或分布律。
分布律常用表格 X 形式表示如下： pk
x1 x2 … xk… p1 p2 … pk…
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分布律的两条基本性质：
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Ｘ ０ １２
p
a
（１）确定常数a的值;（２）求Ｘ的分布函数
解：（１）由分布律的性质知
因此
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（2）由分布函数计算公式易得Ｘ的分布函数为：
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分析推导放射的粒子数为何服从泊松分布 考虑单位时间1秒内放射出的粒子数X。 设想把体积为V的放射性物质分割为n份相同体积 △V 的小块，并假定：
（1）对于每个小块，在1秒内放出一个粒子数的概率p为
其中μ>0是常数（与n无关且与每小块的位置无关）。
在1秒内放出两个或两个以上粒子的概率为0
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在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现 的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为：
即X服从二项分布。 当n=1时，二项分布化为： P{X=k}=pk(1-p)1-k k=0,1 即为（0－1）分布
（0－1）分布可用b(1，p)表示。
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第二章 随机变量
第一节 随机变量及其分布函数 第二节 离散型随机变量及其分布 第三节 连续型随机变量及其分布 第四节 随机变量函数的分布
第一节 随机变量及其分布函数
定义1:
定义2:设X是一随机变量，x为任意实数，函数
称为随机变量X的分布函数。
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证明：
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由概率的 连续性得：
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例1： 口袋里装有3个白球2个红球，从中任取三个球， 求取出的三个球中的白球数的分布函数 解： 设X表示取出的3个球中的白球数。X的可能 取值为1，2，3。而且由古典概率可算得
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于是，X的分布函数为：
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例2: 考虑如下试验：在区间[0，1]上任取一点，记录它 的坐标X。那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为 X取到[0，1]上任一点的可能性相同。求X的分布函数。
例４： 某交互式计算机有10个终端，这些终端被各个 单位独立使用，使用率均为0.7，求同时使用的终端不 超过半数的概率。 解 ： 设X表示10个终端中同时使用的终端数，则 X~b(10,0.7)。所求的概率为 ：
在涉及二项分布的概率计算时，直接计算很困难时， 采用了近似计算。下面给出近似公式：
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两点分布 若在一次试验中X只可能取x1 或x2 两值(x1<x2),
它的概率分布是
则称X服从两点分布。 当规定x1=0,x2=1时两点分布称为（0－1）分布。
简记为X~(0-1)分布。
X
0
1
pk
1-p
p
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二项分布 若离散型随机变量X的分布律为
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
上式给出的概率满足：pk=P{X=k} 0, 且
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例6: 放射性物质在规定的一段时间内，其放射的粒子 数X服从泊松分布。罗瑟福和盖克观察与分析了放射
性物质放出的粒子个数的情况。他们做了2608次观
察（每次时间为7.5秒），整理与分析如表所示:
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粒子数k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
