§9.8圆锥曲线的综合问题★知识梳理★1.直线与圆锥曲线C 的位置关系：将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)交点个数：①当 a ＝0或a≠0，⊿＝0 时,曲线和直线只有一个交点；②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点；③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点。

(2) 弦长公式： 2.对称问题：曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上。

3.求动点轨迹方程：①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。

★重难点突破★重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用问题1：已知点1F 为椭圆15922=+y x 的左焦点，点)1,1(A ，动点P 在椭圆上，则||||1PF PA +的最小值为 .点拨：设2F 为椭圆的右焦点，利用定义将||1PF 转化为||2PF ，结合图形，||||6||||21PF PA PF PA -+=+，当2F A P 、、共线时最小，最小值为2-6★热点考点题型探析★考点1直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题[例1 ] 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 [解析] 易知抛物线28y x =的准线2x =-与x 轴的交点为Q (－2 , 0)， 于是，可设过点Q (－2 , 0)的直线l 的方程为(2)y k x =+，4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ⋅-+⋅+=-⋅+=联立222228,(48)40.(2),y x k x k x k y k x ⎧=⇒+-+=⎨=+⎩ 其判别式为2242(48)1664640k k k ∆=--=-+≥，可解得 11k -≤≤，应选C. 【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对∆进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论【新题导练】1. （09摸底）已知将圆228x y +=上的每一点的纵坐标压缩到原来的12,对应的横坐标不变,得到曲线C ；设)1,2(M ，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0),直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点. (1)求曲线C 的方程；(2)求m 的取值范围.[解析]（1）设圆上的动点为)','('y x P 压缩后对应的点为),(y x P ，则⎩⎨⎧==yy xx 2''，代入圆的方程得曲线C 的方程：12822=+y x（2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m,又21=OM K , ∴直线l 的方程为m x y +=21. 由221,2 1.82y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 得 222240x mx m ++-= ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，∴22(2)4(24)0,m m ∆=--> 解得220m m -<<≠且.∴m 的取值范围是2002m m -<<<<或. 题型2：与弦中点有关的问题[例2]（08韶关调研）已知点A 、B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0).直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2. (Ⅰ)求动点M 的轨迹方程;(Ⅱ)若过点1(,1)2N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点, 且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程. 【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解 [解析] (Ⅰ)设(,)M x y ， 因为2AM BM k k ⋅=-,:()22221x y x +=≠±(Ⅱ) 设1122(,),(,)C x y D x y 当直线l ⊥x 轴时,l 的方程为12x =,则11((,22C D ,它的中点不是N ,不合题意设直线l 的方程为11()2y k x -=- 将1122(,),(,)C x y D x y 代入()22221x y x +=≠±得221122x y +=…………(1) 222222x y += (2)(1)－(2)整理得:12121212122()12()212y y x x k x x y y ⨯-+==-=-=--+⨯ 直线l 的方程为111()22y x -=--即所求直线l 的方程为230x y +-= 解法二: 当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =,则11(,(,2222C D -, 其中点不是N ,不合题意.故设直线l 的方程为11()2y k x -=-,将其代入()22221x y x +=≠±化简得222(2)2(1)(1)2022k k k x k x ++-+--=由韦达定理得222212221224(1)4(2)[(1)2]0(1)222(1)2(2)2(1)22(3)2k k k k k k x x k k x x k ⎧--+-->⎪⎪⎪-⎪+=-⎨+⎪⎪--⎪⋅=⎪+⎩,又由已知N 为线段CD 的中点,得122(1)222kk x x k -+=-+12=,解得12k =-, 将12k =-代入(1)式中可知满足条件.此时直线l 的方程为111()22y x -=--,即所求直线l 的方程为230x y +-=【名师指引】通过将C 、D 的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ 的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁 【新题导练】2.椭圆141622=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分，求此弦所在直线的方程。

[解析]设弦所在直线与椭圆交于),(),,(2211y x N y x M 两点，则14162121=+y x ，14162222=+y x ，两式相减得：041622122212=-+-y y x x ， 化简得0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ， 把2,42121=+=+y y x x 代入得212112-=--=x x y y k MN故所求的直线方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x3.已知直线y ＝－x ＋1与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x－2y ＝0上，求此椭圆的离心率[解析] 设),(),,(2211y x B y x A ，AB 的中点为),(00y x M ,代入椭圆方程得1221221=+by a x ，1222222=+b y a x ,两式相减,得2212122121y y x x b x x a y y -+=--+.AB 的中点为),(00y x M 在直线l 上，0200=-∴y x ，222002121==++∴y x y y x x ，而11221-==--AB k x x y y222122=∴=∴e a b 题型3：与弦长有关的问题[例3](山东泰州市联考)已知直线k x y +=2被抛物线y x 42=截得的弦长AB 为20，O 为坐标原点．（1）求实数k 的值；（2）问点C 位于抛物线弧AOB 上何处时，△ABC 面积最大？【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△ABC 面积的最大值取得的条件[解析]（1）将k x y +=2代入y x 42=得0482=--k x x ， 由△01664>+=k 可知4->k ，弦长AB 2016645=+⨯=k ，解得1=k ；（2）当1=k 时，直线为12+=x y ，要使得内接△ABC 面积最大，则只须使得2241=⨯='C Cx y ，即4=C x ，即C 位于（4，4）点处． 【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围 【新题导练】4. (山东省济南市高三统一考试)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与直线10x y +-=相交于两点A B 、．（1）当椭圆的半焦距1c =，且222,,a b c 成等差数列时，求椭圆的方程； （2）在（1）的条件下，求弦AB 的长度||AB ；[解析]（1）由已知得：2222222b a c b c =+=+，∴222,3b a ==所以椭圆方程为：22132x y +=（2）1122(,),(,)A x y B x y ，由2223610x y x y ⎧+=⎨+-=⎩，得25630x x --=∴121263,55x x x x +==-∴12|||AB x x =-==（文）已知点()A和)B，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线2y x =-交于D 、E 两点，求线段DE 的长．（文）解：根据双曲线的定义，可知C 的轨迹方程为2212y x -=．设()11,D x y ，()22,E x y ，联立222,1.2y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得2460x x +-=．则12124,6x x x x +=-=-．所以12DE x =-==故线段DE 的长为 考点2：对称问题题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法）【新题导练】[例4 ] 若直线l 过圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的圆心M 交椭圆49:22y x C +＝1于A 、B 两点，若A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程．[解析] )1,2(-M ，设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=+-=+y y x x又1492121=+y x ，1492222=+y x ，两式相减得：04922122212=-+-y y x x ， 化简得0))((9))((421212121=-++-+y y y y x x x x ，把2,42121=+-=+y y x x 代入得982112=--=x x y y k AB 故所求的直线方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 所以直线l 的方程为 ：8x －9y ＋25＝0.5.已知抛物线y 2＝2px 上有一内接正△AOB ，O 为坐标原点. 求证：点A 、B 关于x 轴对称；[解析]设),(),,(2211y x B y x A ，||||OB OA = ，22222121y x y x +=+∴22212122px x px x +=+∴，即0)2)((2121=++-p x x x x ，0,0,021>>>p x x ，21x x =∴，21y y -=，故点A 、B 关于x 轴对称6.在抛物线y 2＝4x 上恒有两点关于直线y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围. [解析] （1）当0=k 时，曲线上不存在关于直线对称的两点．（2）当k≠0时，设抛物线y 2＝4x 上关于直线对称的两点),(),,(2211y x B y x A ，AB 的中点为),(00y x M ，则直线AB 直线的斜率为直线k1-，可设b x k y AB +-=1:代入y 2＝4x 得0442=-+kb ky y =∆016162>+kb k )(*kb y y k y y 4,42121-=⋅-=+k x x k y -=+-=210,2kb y y 2)(21++kb k 242+=，kb k x +=202M 在直线y ＝kx ＋3上，3)2(22++=-∴kb k k k kk bk 3222---=∴， 代入)(*得即01)3)(1(2<⋅+-+kk k k ,又032>+-k k 恒成立，所以－1＜k ＜0． 综合（1）（2），k 的取值范围是（－1，0） 考点3 圆锥曲线中的范围、最值问题 题型：求某些变量的范围或最值[例5]已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与直线10x y +-=相交于两点A B 、．当椭圆的离心率e满足32e ≤≤，且0OA OB ⋅= （O 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围． 【解题思路】通过“韦达定理”沟通a 与e 的关系[解析]由22222210b x a y a b x y ⎧+=⎨+-=⎩，得222222()2(1)0a b x a x a b +-+-=由22222(1)0a b a b =+-> ，得221a b +>此时222121222222(1),a a b x x x x a b a b-+==++ 由0OA OB ⋅=，得12120x x y y +=，∴12122()10x x x x -++=即222220a b a b +-=，故22221a b a =-由222222c a b e a a-==，得2222b a a e =-∴221211a e =+-由32e ≤≤得25342a ≤≤2a ≤≤所以椭圆长轴长的取值范围为 【名师指引】求范围和最值的方法：几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题 代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值． 【新题导练】7. 已知P 是椭圆C ：12422=+y x 的动点，点)0,21(A 关于原点O 的对称点是B ，若|PB|的最小值为23，求点P 的横坐标的取值范围。