一、正整数的正约数个数
在一间房子里有编号为1-100的100盏灯,每盏都配有 一个开关,开始灯全灭着.现有100个人依次进入房间, 第k个人把编号是k的倍数的灯的开关各拉一次,这样 操作完成之后,哪些编号的灯亮着。
为了叙述方便,我们把正整数n的正约数个数记作 d(n) . 例如,d(1)=1,d(2)=2,d(5)=2,d(8)=4,d(12)=6
例3 有一个小于2000的四位数,它恰有14个正约数,其 中有一个质约数的末位数字是1,求这个四位数. 定理2 正整数n为完全平方数的充要条件是d(n)为奇 数.
例4 求证：正整数n的所有正约数之积等于 nd ( n) .
二、正整数n的所有正约数之和
正整数n的所有正约数之和记作S(n) 1.当n只含有一个质约数时
思考：d(360)=
d(450000)=
1 2 定理1 设正整数n的标准分解式为n=p1 , p2 ,
m , pm ,则
d (n) (1 1)( 2 1)
例1 求d(300000).
(am 1).
例2 若n p q , 其中p, q为不同质数, 1,Байду номын сангаас 1.且n 2有 15个正约数,求d (n7 ).
pm )
m
1 1 2 1 p1 1 p2 1 p1 1 p2 1
m 1 pm 1 pm 1
例5 求S(360).
例6 求形如2k 3m的正整数, 且使其所有正约数之和 为403。
例7 求1998的所有正约数的倒数之和.
小结：本节主要讲述正整数的正约数个数与总和， 要求会求正整数正约数的个数，理解正约数总和 的求法，并能灵活运用。 作业：习题1.7第7题. 教学后记：基本能掌握主要知识点，但不是很熟 练，应多做练习题。
1.7正整数的正约数个数与总和
学习目标： 1.能熟练求正整数的正约数的个数 2.理解并掌握正整数n的所有正约数之和 3.培养学生的归纳能力 重点：正整数的正约数的个数 难点：正整数n的所有正约数之和 教学方法：讲授法 练习法 课时数：3 授课日期：2014.4.15/22
1 q 1 . p 1 q 1 p
m1
k 1
定理3 设正整数n p1 p2
S(n) (1 p
1 1
1
2
pm ,( p1 , p1 ,
p2 )
2
m
pm是互
1 m
异质数,1 ,1 , m为正整数), 则
p1 )(1 p
1 2
1
(1 p
一般地, 若n p m , 则
S (n) 1 p1 p 2
2.当n含有两个质约数时
m k
m1 p 1 m p . p 1
一般地, 若n p q ( p, q是互异质数,m,k 为正整数),则
S (n) (1 p1 p 2 p m )(1 q1 q 2 qk )