复习 一元二次方程根的情况与b² -4ac的关系
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
b b 2 4ac x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0 有两个相等的实数根 : b x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0 没有实数根
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方 向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考 虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要 多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要 多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
（3）当 h = 20.5 时， 20 t – 5 t 2 = 20.5 t 2 － 4 t ＋4.1 = 0 因为(－4)2－4×4.1 < 0 ，所以方程无实根。 球的飞行高度达不到 20.5 m.
20.5 m
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线 是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时 间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2 考虑下列问题:（4）球从飞出到落地要用多少时间?
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就 是一个一元二次方程。
从以上可以看出, 已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的 值，就是求相应一元二次方程的解.
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解, 例如,解方程X2-4x+3=0 就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量 x的值.
20 m
2s （2）当 h = 20 时， 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 － 4 t ＋4 = 0 t1=t2=2 当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线 是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行 时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2 考虑下列问题:（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？
我们把代数式b 2 4ac叫做方程ax 2 bx c 0a 0 的 根的判别式.用" " 来表示.即 b 2 4ac.
探究一：二次函数 2 y=ax +bx+c与一元二次方 2 程ax +bx+c=0有什么关系?
1、一次函数y=kx+b与一元一 次方程kx+b=0有什么关系? 2、你能否用类比的方法猜 2 想二次函数y=ax +bx+c与 2 一元二次方程ax +bx+c=0的 关系?
0s （4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t 2－ 4 t = 0
4s
0m
t 1 = 0， t 2 = 4
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
为一个常数 （定值）
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为 一元二次方程? 一般地，当y取定值时，二次函数为一元 二次方程。
回顾旧知
二次函数的一般式：
y ax bx c （a≠0）
2
x 是自变量，____ y 是____ x 的函数。 ______
当 y = 0 时，
ax² + bx + c = 0
ax² + bx + c = 0
这是什么方程？
是我们已学习的“一元二次方程”
一元二次方程根的情况与b² -4ac的关系？
t 2 － 4 t ＋3 = 0
t 1 = 1， t 2 = 3
当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m .
15 沿与地面成 30°角的方向击出时， 球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的 飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2 考虑下列问题:（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
2 .2个根,2个相等的根, 无实数根.
(3),二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐 标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关 系? 2 y x2 6x 9 y x2 x 1
y x x2
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时， 球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球 的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? 解：（1）当 h = 15 时， 20 t – 5 t 2 = 15
二次函数与一元二次方程的关系（1）
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
边观察边思考
1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1 2 的图象如图所示。 2 y x x 1 y x 6x 9
y x2 x 2
(1).每个图象与x轴有几个交点？ 答：2个，1个，0个 (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?