专题2.3 基本初等函数【三年高考】1. 【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z【答案】D【解析】试题分析：令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >，22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 2. 【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．3. 【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（ ）（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033（B ）1053（C ）1073（D ）1093【答案】D4. 【2016高考新课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．5．【2016高考浙江理数】已知a>b>1.若log a b+log b a=52，a b=b a，则a= ，b= .【答案】42【解析】设log,1ba t t=>则，因为21522t t a bt+=⇒=⇒=，因此22222, 4.b a b ba b b b b b b a=⇒=⇒=⇒==6．【2016高考上海理数】已知点(3,9)在函数x axf+=1)(的图像上，则________)()(1=-xfxf的反函数.【答案】2log(x1)-【解析】将点39（，）带入函数()xf x1a=+的解析式得a2=，所以()xf x12=+，用y表示x得2x log(y1)=-，所以()12log(f x x1)-=-.7．【2016高考天津理数】已知函数f（x）=2(4,0,log(1)13,03)ax a xax xx⎧+<⎨++≥-+⎩（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|()|2f x x=-恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）（A）（0，23] （B）[23，34] （C）[13，23]U{34}（D）[13，23）U{34}【答案】C8．【2016高考上海理数】已知a R∈，函数21()log()f x ax=+.（1）当5a=时，解不等式()0f x>；（2）若关于x的方程2()log[(4)25]0f x a x a--+-=的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；（3）设0a>，若对任意1[,1]2t∈，函数()f x在区间[,1]t t+上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围. 【解析】（1）由21log 50x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，得151x +>，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ．（2）()1425a a x a x+=-+-，()()24510a x a x -+--=，当4a =时，1x =-，经检验，满足题意．当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意．当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠．1x 是原方程的解当且仅当110a x +>，即2a >；2x 是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >．于是满足题意的(]1,2a ∈．综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4U ．（3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +． ()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥．故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 9.【2015高考四川，理8】设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的 （ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若333a b>>，则1a b >>，从而有log 3log 3a b <，故为充分条件. 若log 3log 3a b <不一定有1a b >>，比如.1,33a b ==，从而333a b >>不成立.故选B. 10.【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C11.【2015高考浙江，理18】已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.【解析】（1）由22()()24a a f x x b =++-，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥，得||12a-≥，故()f x 在[1,1]-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得max{(1),(1)}2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由 (1)(1)24f f a --=-≥，得max{(1),(1)}2f f --≥，即(,)2M a b ≥，综上，当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得|1||(1)|2a b f ++=≤，|1||(1)|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由||,0||||||,0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，得||||3a b +≤，当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[1,1]-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，∴||||a b +的最大值为3.. 【2017考试大纲】 1.指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点. (4)知道指数函数是一类重要的函数模型. 2.对数函数a (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点. (3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数(0,1)xy a a a =>≠ 与对数函数log (0,1)ay x a a =>≠互为反函数. 3.幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x=====的图像,了解它们的变化情况.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对基本初等函数的考查，大部分是以基本初等函数的性质为依托，结合运算推理解决问题，高考中一般以选择题和填空的形式考查.纯基本初等函数的试题，一般考查指对数式的基本运算性质.【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式 , 幂函数新课标要求较低，只要求掌握幂函数的概念，图像与简单性质，仅限于几个特殊的幂函数，关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.指数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.对指数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握指数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数进行变形处理.高考题目形式多以指数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.对数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.从近几年的高考形势来看，对对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握对数运算法则，明确算理，能对常见的对数型函数进行变形处理.高考题目形式多以对数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.基本初等函数是考察函数、方程、不等式很好的载体， 预测2018年高考继续会对基本初等函数图象和性质的考察.尤其注意以基本初等函数特别是指对函数为模型的抽象函数的考察，这种题型只给出定义域内满足某些运算性质的法则，往往集定义域、值域、单调性、奇偶性与一身，全面考察学生对函数概念和性质的理解.【2018年高考考点定位】高考对基本初等函数的考查有三种主要形式：一是比较大小；二是基本初等函数的图象和性质；三是基本初等函数的综合应用，其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系. 【考点1】指数值、对数值的比较大小 【备考知识梳理】指数函数(0,1)xy a a a =>≠，当a 1>时，指数函数在(,)-∞+∞单调递增；当0a 1<<时，指数函数在(,)-∞+∞单调递减.对数函数log (0,1)a y x a a =>≠，当a 1>时，对数函数在(0,)+∞单调递增；当0a 1<<时，对数函数在(0,)+∞单调递减.幂函数y x α=图象永远过（1,1），且当0α>时，在(0,)x ∈+∞时，单调递增；当0α<时，在(0,)x ∈+∞时，单调递减.【规律方法技巧】指数值和对数值较大小，若指数值有底数相同或指数相同，可以考虑构造指数函数和幂函数和对数函数，通过考虑单调性，进而比较函数值的大小；其次还可以借助函数图象比较大小.若底数和指数不相同时，可考虑选取中间变量，指数值往往和1比较；对数值往往和0、1比较. 【考点针对训练】1. 【吉林省实验中学2017届高三第九次模拟】已知132131log 3,2,log 30a b c -===，则a b c 、、的大小关系是A. c a b >>B. a c b >>C. a b c >>D. c b a >> 【答案】A2. 【天津市耀华中学2017届高三第一次校模拟】若1ln 2a =， 0.813b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 132c =，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b a c << 【答案】A【解析】由题意可得： 0.81311ln 0,01,2123a b c ⎛⎫=<<== ⎪⎝⎭，则： a b c <<.本题选择A 选项.【考点2】指数函数的图象和性质 【备考知识梳理】y ＝a x a >1 0<a <1图像定义域 R 值域 (0，＋∞)性质当x >0时，y >1；x <0时，0<y <1当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1过定点(0,1) 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数【规律方法技巧】1、 研究指数函数性质时，一定要首先考虑底数a 的范围，分a 1>和0a 1<<两种情况讨论，因为两种情况单调性不同，相应地图象也不同.2、与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．3、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解． 【考点针对训练】1. 【云南省民族中学2017届高三适应性考试（三）】设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则__________．【答案】2-2．【山西省临汾第一中学2017届高三全真模拟】已知函数()()2,3{1,32xf x x f x x +<=⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则()4f -=A.12 B. 14 C. 18 D. 116【答案】D【解析】()()()()()1-42024.16f f f f f =-====选D. 【考点3】对数的运算性质和对数函数的图象和性质 【备考知识梳理】1．对数的定义:如果(1)0xa N a a >≠＝且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作a x log N ＝其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算及换底公式(1)对数的性质()01a a >≠且：①10a log ＝；②1a log a ＝；③a log Na N ＝(2)对数的换底公式:基本公式log log log c a c bb a=(a ，c 均大于0且不等于1，b >0)．(3)对数的运算法则：如果()01a a >≠且，00M N >>，，那么①(·)a a a log M N log M log N ＝＋，②a a a log log M l NN Mog ＝-，③n a a log M nlog M ＝ (n R ∈)． 3．对数函数的图像与性质a >10<a <1图像定义域 (0，＋∞) 值域R【规律方法技巧】1、 研究对数函数性质时，一定要首先考虑底数a 的范围，分a 1>和0a 1<<两种情况讨论，因为两种情况单调性不同，相应地图象也不同，同时要注意定义域.2、对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．3、一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． 【考点针对训练】1. 【山东省烟台市2017届高三适应性练习（二）】已知函数则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ ）C. ()0,+∞D. (),0-∞ 【答案】B∴g (x )在R 上单调递增，∴由f (3x +1)+f (x )>4,得g (3x +1)-2+g (x )-2>0.则g (3x +1)>g (−x ).∴3x +1>−x ∴原不本题选择B 选项. 2．【河北省石家庄市2017届高三冲刺】已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()()2log 1f x x =+，则使得()()21f x f x <-成立的x 的取值范围为__________．【答案】{|1}x x <-【解析】当x 0>时， ()f x 在()0,+∞单调递增，又因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以()f x R 在单调递增，由()()f 2x f x 1<-，所以21x x <-，得1x <-。