浅谈积分因子与首次积分摘要：本文先给出了微分方程中的积分因子、首次积分以及特征方程的相关定义并加深理解，后引出全微分方程积分因子存在的充要条件以及与之相关的两类重要命题，灵活的将用积分因子解微分方程的方法与偏微分方程首次积分联系起来，为求特殊积分因子提供了方便，最后应用性的求出了常见的几类微分方程的积分因子.关键词：微分方程；积分因子；首次积分；特征方程；偏微分：合分比Introduction to integral factor and the points for the first timeChen Xueyun(School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University 741000) Abstract This paper firstly presents the definition of the integral factors ,first integral in differential equation and the characteristic equation and leads to the necessary and sufficient condition for the existence of all the integrating factor of differential equation as well as in connection with the two important types of proposition, Then it provides conveniences for special integral factor by combining the method of integral factor to solve differential equations with partial differential equation flexibly,Finally it finds out the integral factor of some types of differential equations via application.Keywords Differential equations,Integrating factor,For the first time points,Characteristic equation, Partial differential,points than目录0 引言 (1)1 相关概念 (1)1.1 积分因子 (1)1.2 首次积分 (2)1.3 特征方程（组） (2)2 预备知识 (2)3 问题的引入 (3)4 有关积分因子存在的充要条件的两类命题 (5)4.1 命题一 (5)4.2 命题二 (7)5 几类常见微分方程的积分因子 (8)5.1 可分离变量的微分方程 (8)5.2 齐次微分方程 (9)5.3 线性微分方程 (10)5.4 Bornoulli微分方程 (10)6 小结 (12)参考文献 (13)致谢 (14)浅谈积分因子与首次积分0 引言在微分方程的学习中，微分方程的求解是至关重要的，并且对于不同类型的微分方程可以给出不同的解法.Euler 曾在他的论文中指出：凡是可用分离变量法的地方都可以用积分因子法，这就启示我们要更多的了解和学习积分因子法.而这其中恰当微分方程就可以通过积分的方法求出，但并非所有的微分方程均为恰当微分方程，于是如何将一个非恰当微分方程转化为恰当微分方程，让求其通解变得简单？将是一个很显眼的问题，对此本文就特殊积分因子的求法引进了首次积分法，并加以论证运用.1 相关概念1.1 积分因子定义1 对于下面的一阶方程 (,)dy f x y dx= 现把它写成微分的形式(,)0f x y dx dy -=或者把,x y 平等的处理，写成具有对称形式的一阶微分方程，如下(,)(,)0,M x y dx N x y dy += （1.1.1）其中(,)M x y 和(,)N x y 是关于,x y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，(,)x y D ∈，D 为单连通区域.这样如果存在连续可微的函数(,)0x y μμ=≠，使得(,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=,为一恰当微分方程，即存在函数(,)u x y ，使 u u Mdx Ndy du dx dy x yμμ∂∂+≡=+∂∂, 则称(,)x y μ为方程（1.1.1）的积分因子.1.2 首次积分定义2 对于一般的常微分方程组 1112221212(,,,,),(,,,,),(,,,,).n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ （1.2.1）其中，右端函数12,,,n f f f 都在某个域G 内连续.设函数12(,,,,)n x y y y Φ=Φ在域G 内连续可微，且12(,,,,)n x y y y const Φ=Φ≠，如果以方程组的（1.2.1）的任一解()(1,2,)i y x i n =代入函数Φ时，使得函数12(,(),(),,())n x y x y x y x const Φ=Φ=（其中const 为任意常数），且此常数与x 无关，同时此常数值随不同解而异，则称表达式12=(,,,,)n x y y y const ΦΦ=为方程（1.2.1）的一个首次积分，有时也称12(,,,,)n x y y y Φ为首次积分.1.3 特征方程（组）定义3 对于一阶齐次线性偏微分方程 121(,,,)0n i n i iX x x x x μ=∂=∂∑, （1.3.1） 其中12,,,n x x x 是自变量，μ是12,,,n x x x 的未知函数，函数()(1,2,,)0i iX x i n x μ∂==∂为域'G 内相应的已知函数，则常微分方程组 1212n ndx dx dx X X X ===, （1.3.2） 称为一阶齐次线性偏微分方程（1.3.1）的特征方程组，也称特征方程.2 预备知识引理[1] 函数(,)x y μ是方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=的积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂. （2.1） 现在对（2.1）式做如下变形 M N M N y y x xμμμμ∂∂∂∂+=+∂∂∂∂， M N N M x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭， 则可得到如下以μ为未知函数的一阶线性偏微分方程 ln ln M N N M x y y xμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂. （2.2） 3 问题的引入通过对常微分方程的学习，我们了解了一阶微分方程的各种解法，其中对于恰当微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=我们可以通过积分求出它的通解，但是在学习研究中所遇到的微分方程大多并非全微分方程，于是我们引进了积分因子，以便更好的将一个非恰当微分微分方程转化为恰当微分方程，对于一般的积分因子我们可以通过观察法、分组法、公式法等来求解，那么对于特殊的又当如何呢？能否关联到有关偏微分方程的理论呢？下面的定理告诉我们这是肯定的.定理[2] 一阶微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有可求的积分因子⇔方程（2.2）的特征方程有可求的首次积分.证 )⇒ 由引理我们知道如果存在函数(,)x y μ，使(,)(,)(,)(,)x y M x y d x x y N x y μμ+= 为全微分方程，则有方程（2.1）成立，而方程（2.1）又与偏微分方程（2.2）等价，所以想要求解微分方程（1.1.1）关键是要求出积分因子(,)x y μ，而要求出积分因子(,)x y μ的关键是求解（2.2）式即偏微分方程 ln ln M N NM x y y x μμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂，现在令 ln t μ=， M N T y x∂∂=-∂∂， （3.1） 则方程（2.2）可变形为如下偏微分方程 t t N M T x y∂∂-=∂∂， （3.2） 由定义3现在可以写出（3.2）的特征方程 dx dy dt N M T==-， （3.3） 所以求解积分因子(,)x y μ的关键就在于求出（3.3）的首次积分，假设现在求出特征方程（3.3）式的两个首次积分11ϕ（x,y,t ）=c ，22ϕ（x,y,t ）=c ，并且让它们相互独立，即雅可比行列式 1112220(,)x y D D x y x yϕϕϕϕϕϕ∂∂∂∂=≠∂∂∂∂（,）， （3.4） 那么，若120ϕϕΦ=（,），并能从120ϕϕΦ=（,）中确定函数ln (,)t x y μϕ==， 则120ϕϕΦ=（,）为方程（2.2）的通解.)⇐ 假设特征方程（3.3）存在首次积分(,,)x y t c ϕ=()c 为常数，由 1ln (,)(,)t x y x y μϕ==可得 1(,)(,)x y x y e ϕμ=.把1(,)(,)x y x y e ϕμ=代入ln ln M N N M x y y xμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂，经验证成立. 故(,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y μμ+=是一个全微分方程，并且(,)x y μ为方程(,)(,)0M x y d x N x y d y +=的一个积分因子.例1 用首次积分求解方程组22,().()dx y dt y x dy x dt y x ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩ 解 首先将两式相比可得 dx y dy x=， 即 0xdx ydy -=对上式积分我们就可以得到方程组的一个首次积分2211x y c ψ=-=.再次将两式作差得到 2()()()d x y x y dt x y ---=-, 即 ()()0dt x y d x y +--=.对上式关于(x-y)积分可得 2221()2t x y c ψ=+-=. 下面根据定理以及（3.4）式验证首次积分1ψ与2ψ的相互独立性，因为 1121222(,)2()0(,)x y D x y D x y x yψψψψψψ∂∂∂∂==--≠∂∂∂∂， 故首次积分1ψ与2ψ是相互独立的，因而原方程组的通解为 22122,1().2x y c t x y c ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩ 4 有关积分因子存在的充要条件的两类命题4.1 命题一对一阶微分方程(,)(,)0,M x y dx N x y dy += (,)x y D ∈（4.1.1） D 为单连通区域，其中(,)M x y 和(,)N x y 是关于,x y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，若存在只与x 有关的函数()P x ，使得M N N y x ⎛⎫∂∂- ⎪∂∂⎝⎭P(x)=成立， 则方程（4.1.1）存在只与x 有关的积分因子()()P x dx x e μμ⎰==，证 （方法一）对于方程（4.1.1），由题设条件知，若存在只与x 有关的积分因子()x μμ=，则 0yμ∂=∂. 这时方程 M N N M x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭, 变为 M N Nx y x μμ⎛⎫∂∂∂=- ⎪∂∂∂⎝⎭， 即 ()M N d y x dx P x dx Nμμ∂∂-∂∂==， （4.1.2） 进而得到 ()d P x dx μμ=， （4.1.3）这里()P x 仅为x 的函数，现在对方程（4.1.3）两边同时积分，可以求得方程（4.1.1）的一个积分因子 ()()P x dx x e μμ⎰==.（方法二） 由定理以及证明过程可知，设函数(,)x y μ为方程（4.1.1）的积分因子，那么它必满足偏微分方程（3.2）和特征方程 ln dx dy d M N N M y xμ==∂∂--∂∂， （4.1.4） 现在将条件M N N y x ⎛⎫∂∂- ⎪∂∂⎝⎭P(x)=变形为()*(,)M N P x N x y y x ∂∂-=∂∂并代入（4.1.4）， 得 ln 1()dx d P x μ=， 对上式积分可得首次积分为ln ()p x dx μ=⎰.从而可得方程（4.1.1）的一个积分因子()()P x dx x e μμ⎰==.4.2 命题二对一阶微分方程(,)(,)0,M x y dx N x y dy += (,)x y D ∈（4.2.1） D 为单连通区域，其中(,)M x y 和(,)N x y 是关于,x y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，若存在只与y 有关的函数()Q y ，使得M N M y x ⎛⎫∂∂-- ⎪∂∂⎝⎭P(x)=成立，则方程（4.2.1）存在只与y 有关的积分因子()()Q y dy y e μμ⎰==.证 （方法一）对于方程（4.2.1），由题设条件知若存在只与y 有关的积分因子()y μμ=，则0x μ∂=∂， 这时方程 M N N M x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭变为 M N My y x μμ⎛⎫∂∂∂-=- ⎪∂∂∂⎝⎭， 即 ()M N d y x dy Q y dy Mμμ∂∂-∂∂==-， （4.2.2） 即 ()d Q y dy μμ=， （4.2.3）这里()Q y 仅为y 的函数，现在对方程（4.2.3）两边同时积分可以求得方程（4.2.1）的一个积分因子()()Q y dy y e μμ⎰==（方法二）由定理以及证明过程，现在设函数(,)x y μ为方程（4.2.1）的积分因子，那么它必满足偏微分方程（3.2）和特征方程 ln dx dy d M N N M y xμ==∂∂--∂∂， （4.2.4）现在将条件 ()M N y x Q y M∂∂-∂∂=-变形为 []()*(,)M N Q y M x y y x∂∂-=-∂∂并代入方程（4.2.4）， 得 ln 1()dy d Q y μ=， 对上式积分可得首次积分为ln ()Q y dy μ=⎰，从而可得方程（4.2.1）的一个积分因子()()Q y dy y e μμ⎰==.例2 求解(2)0y y e dx x xy e dy -+=的通解.解 容易看出 (,)y M x y e =，(,)(2)y N x y x xy e =-+以及 y M e y ∂=∂， 4y N xy e x∂=--∂. 由于 2M N y x N x∂∂-∂∂=-， 即此方程存在只与x 有关的积分因子()x μ. 由命题一可知 2()21()dx x x e xμ-⎰==， 再用积分因子21()x x μ=乘原方程两端可得 220y ye e dx ydy dy x x--=， 即 20ye d dy x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 于是，原方程的通解是 2ye y c x+=. 5 几类常见微分方程的积分因子5.1 可分离变量的微分方程设可分离变量方程为()()dy f x y dx ϕ=，其中()f x ，()y ϕ分别是,x y 的连续函数. 现在对上述方程做出变形得到更一般的形式1212()()()()0M x M y dx N x N y dy +=. （5.1.1）现在取211(,)()()x y M y N x μ=，同时乘到（5.1.1）式的两边，得到1212()()0()()M x N y dx dy N x M y +=. （5.1.2） 由于 1212()()0()()M x N y y N x x M y ⎛⎫⎛⎫∂∂== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，所以式（5.1.2）为恰当微分方程即全微分方程， 故211(,)()()x y M y N x μ=就是方程（5.1.1）的一个积分因子.5.2 齐次微分方程这里只考虑第一种形式的奇次微分方程.设齐次微分方程 ()dy yf dx x=， （5.2.1） 其中()f u 是u 的连续函数.作变量变换 yu x=，则 y ux =， （5.2.2）两边关于x 求导可得 dy du x u dx dx =+. （5.2.3） 现在将（5.2.1）式和（5.2.2）式代入（5.2.3）式可得到如下可分离变量的微分方程()duxu f u dx+= 或 []()0xdu u f u dx +-=， （5.2.4） 所以由前文对分离变量微分方程的讨论可知，微分方程（5.2.4）的积分因子是[]1(,)()x y x u f u μ=-. 现将[]1(,)()x y x u f u μ=-同时乘到（5.2.4）的两边得到 []110()du dx u f u x +=-， （5.2.5）由于 []110()u x x u f u ⎛⎫∂∂⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪∂∂-⎝⎭⎝⎭，所以（5.2.5）是全微分方程，也即 1(,)()x y y y xf xμ=- 是方程（5.2.1）的积分因子.5.3 线性微分方程设一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx=+， （5.3.1） 其中()P x ，()Q x 是关于x 的连续函数. 对上式进行简单变形可得如下对称形式 []()()0P x y Q x dx dy ++=， 其中 (,)()()M x y P x y Q x =+，(,)1N x y =.又由于 ()M N N P x y x ⎛⎫∂∂-= ⎪∂∂⎝⎭ （这里()P x 只是关于x 的函数），所以由前文的命题一结论可知此一阶线性微分方程有只与x 有关的积分因子()x μ，即 0y μ∂=∂，d x dxμμ∂=∂. （5.3.2）将（5.3.2）式代入（2.2）式，得到 ()M Nd y xdx Nμμ∂∂-∂∂= 即()d P x dx μμ=，对上式两边同时积分可得()()P x dx x e μ⎰=，即一阶线性微分方程（5.3.1）的积分因子是()()P x dx x e μ⎰=.5.4 Bornoulli 微分方程设Bornoulli 微分方程()()n dyP x y Q x y dx=+ (0,1)n ≠， （5.4.1） 其中()P x ，()Q x 为x 的连续函数.现在把（5.4.1）式变形为 ()()0n P x y Q x y dx dy ⎡⎤+-=⎣⎦，其中(,)()()n M x y P x y Q x y =+，(,)1N x y =-，并且 1()()n M P x ny Q x y -∂=+∂，0Nx∂=∂，于是可以得到它的特征方程为11(()())()()n n dx dy dtP x y Q x y P x ny Q x -==--++. （5.4.2） 对（5.4.2）式做一个变形可得1()()()()n n dx ndy ydtnP x y nQ x y P x y ny Q x -==++. （5.4.5） 利用分式的性质可得1(1)()dx ndy ydt n P x y+=-， 即 (1)()n P x ydx ndy ydt -=+， 1(1)()dt n P x dx ny dy -=--， 对上式积分可得首次积分为 (1)()ln t n P x dx n y =--⎰， 再由前文定理可知 (1)()ln ,(,)n P x dx n t x y y e μμ--⎰==.故Bornoulli 微分方程的积分因子是(1)()(,)n P x dx n x y y e μ--⎰=.例3 把方程32()()0x xy x y dx x y dy +++--=化为全微分方程. 解 由题目很容易知道32(,)M x y x xy x y =+++， (,)()N x y x y =--， 以及21M xy y ∂=+∂， 1Nx∂=-∂， 从而可以写出此方程的特征方程为32()()22dx dy dtx y x xy x y xy ==---++++，对上式进行简单变形可得233222(1)xdx ydy dtx xy x y xy xy y xy ==-+++-+，利用分式性质可得2222()(1)(1)xdx ydy dtx y xy xy +=++-+，即 2222()1d x y dtx y +=+-，对上式两边同时积分可得首次积分为 22ln()t x y =-+. 再由定理可知 ln t μ=，故221(,)x y x y μ=+，故所要化简方程的一个积分因子为221(,)x y x y μ=+，于是原方程可以化为一个全微分方程，即3222220x xy x y x ydx dy x y x y+++--=++， 其中 3222222222()x xy x y x y x y xyy x x y x y ⎛⎫⎛⎫∂+++∂---=-= ⎪ ⎪∂∂++⎝⎭⎝⎭. 6 小结通过本文使我们对微分方程的积分因子与偏微分方程有了一个初步的了解，尤其对偏微分方程中的特征方程，首次积分等概念有了一个简单的认识.其次就偏微分方程中的特征方程，首次积分在求解常微分方程组的积分因子中的应用有了进一步的认识，最后应用本文中的理论求出了几类常见的微分方程的积分因子，为今后能更好的研究与积分因子相关的理论提供帮助.参考文献[1] 王高雄，周之铭，朱思铭.常微分方程[M].第三版.北京：高等教育出版社，2006：50-60.[2] 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