问题思考：
已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an .
解:∵ a1 1 = 21 1
可从简单情形出发
∴
a2 a3
2a1 2a2
1 1
21 1 3= 22 2 3 1 7= 23
1 1
观察、归纳、猜想
a4 2a3 1 2 7 1 15 = 24 1 a5 2a4 1 215 1 31= 25 1
多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下：
（1）第一块骨牌倒下；（基础）
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下 一定导致后一块倒下。 （传递）
条件（2）事实上给出了一个递推关系：当 第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
证明当n k 1时,命题也成立 （传递）
3.数学归纳法第二步的证明可以用各种证明方法， 但必须用到假设
思考5：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学 用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的 结论正确吗？
解:设n＝k时成立，即 2+4+6+…+2k＝k2+k+1
则当n=k+1时
2n
2n
成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？
思考1：与正整数n有关的数学命题都能否通 过一一验证的办法来加以证明呢？
思考2：如果一个数学命题与正整数n有关, 我们能否找到一种既简单又有效的证明方法 呢？
问题思考： 已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an . 怎么证明我们的猜想呢?
你玩过多米诺骨牌游戏吗？
数学归纳法1
学习目标： 1.通过学习过的归纳推理及几个例子，弄明白 数学归纳法的证明原理（重点）
2.通过几个证明问题，梳理清楚数学归纳法的 一般实施步骤，并会证明等式与不等式恒成立 问题（难点）
你猜、你猜、你猜猜猜
1, 3, 5, 7, 9, 11, 15
归纳推理：由部分到整体的推理，结论未必正确
这种证明方法就叫做___数__学__归__纳__法___。
注意：
1.数学归纳法是用来证明与正整数有关的命题
2.数学归纳法的一般步骤
(1)证明当n取第一个值n0 时命题成立
n0 N*, n0 =1或n0 =2或n0 =3等
（基础）
(2)假设当 n k k N*, k n0 时,命题成立
那么n=k+1时, 左边 (1
1) (1
1)
(
1
1
)
2 23
k 1 k 2
1 1
k
=右边,
k 2 (k 1) 1
即n=k+1时,命题也成立.
由(1)(2)知,对一切正整数,命题均正确.
思考7：下面是某同学 用数学归纳法证明等式
1 2
＋
1 22
＋
1 23
＋L
＋ 1 1 1 （n∈N＊）
费马(1601- ……100年后…
-伟1F6大565的)4法2业9国4余967297
6700417
641
欧拉 (1707～1783)，
数学家。 费马您错了!
瑞士数学家
不完全归纳法能帮助我们发现猜想,但不能及保证自猜然想科正学确.
在使用归纳法探究数学命题时，必须对 任何可能的情况进行论证后，才能判别命题 正确与否。
思考：你认为证明数列的通项公式 an 2n 1是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你 能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
思考:已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an .
我们运用不完全归纳法得出猜想: an 2n 1 ,怎么 严格论证呢?尝试用多米诺骨牌游戏的原理证明猜想.
下面是某同学用数学归纳法证明命题
1 1 1 n
1• 2 2•3
n • (n 1) n 1
的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?
(1).当n=1时,左边= 1 1, 右边= 1 1
1• 2 2
11 2
(2).假设n=k时命题成立 即
1 1 1 k
1• 2 2•3
k • (k 1) k 1
多米骨牌游戏的原理
⑴第一块骨牌倒下.(奠基)
尝试证明猜想 an 2n 1 的方法
⑴当 n 1 时猜想成立.
(2)若第 k 块倒下时，则 相邻的第 k+1 块也倒下.
⑵假设当n k 时猜想成立.即ak 2k 1
(传递性)
那么,当 n k 1 时 ak1 2ak 1
∴ ak1 2k1 1 猜想也成立.
根 据 (1) 和 (2), 可 知 不 论 有 多 少 块骨 牌 , 都 能
∴由⑴、⑵可知当 n N * 时
全部倒下.
an 2n 1
这种一种严格的证明方法──数学归纳法.
数学归纳法的概念：
定义：对于某些与正整数n有关的命题常 常采用下面的方法来证明它的正确性：
1.先证明当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立 (归纳奠基） ； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨
制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌 按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨 牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次 倒下。
多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需 要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和 意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。
2+4+6+…+2k+2(k+1)
＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+时也成立
所以等式对任何n∈N*都成立
该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下， 就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早
事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3 左边≠右边，等式不成立
思考6:
(不完全归纳法)
…… …
∴所求通项公式为 an 2n 1(n N * )
上面的解答是否正确?
不完全归纳法,可以帮助我们发现规律,但不够严密.
费马(Fermat) 曾经提出一个猜想：
形如Fn＝22n+1(n=0,1,2…)的数都是质数
n 0, Fn 3 n 1, Fn 5 n 2, Fn 17 n 3, Fn 257 n 4, Fn 65537