例2：已知数列{an }，其通项公式为 an = 2n - 1 ，试猜想该 数列的前n和公式 s n ，并用数学归纳法证明你的结论。
解：（1）
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 （2）假设当n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）= 则当n=k+1时，1+3+5…+（2k-1)+[2(k+1)-1] = k 2 + [2(k+1)-1] = (k + 1)2
数学归纳法
（一）
太康县第二高级中学 郭伟峰
引入
问题1：从前一个地主的孩子学写字，学过一二三后得出结论四就是四 横五就是五横。
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1,
a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形 的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(一，课本第95页练习1，2。 二，试着归纳本节课所学内容。
小结
1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可；
2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式，第二步中 n=k+1时应增加的式子；
3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个 “凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二 是“凑”目标式。
☺
新课
一、概念
1、归纳法： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况， 归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。
归纳法
｛ 不完全归纳法
完全归纳法
❋用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如问题1,2。 ❋用完全归纳法得出的结论可靠，可不便操作。 提出问题：如何找到一个科学有效的方法证明结论的 正确性呢？
问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查 。
请问：以上四个结论正确吗？为什么? 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点 1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。
共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完 全归纳法，问题4是用的完全归纳法。
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。 3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
实验演示，探索解题途径
在多米诺骨牌游戏中，要让这些骨牌全部倒下，必 须具备 哪些条件呢？ （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一 块倒下。

思考：
第一块不推倒行吗？从中间拿走几块行吗？
演示小节：可以看出条件（2）事实上给出了一个递推关系； 当第k块倒下时，相邻的第k+1块也会倒下。这样， 只要第一块倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下。
课后作业

1、阅读作业：通读教材 2、书面作业：习题2.3A组第1，2题 3、弹性作业：简析我国古代烽火传递军情的 合理性 (可以上网查阅)
二，数学归纳法原理：
我们知道，有一些命题是和正整数有关的，如果这个命题的情况 有无限种，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归 纳法又不可靠，怎么办？
常采用下面的方法来证明他们的正确性 步骤：①验证n=n0时命题成立。（n0为n取的第一个值） ②假设n=k(k∈N ,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1 时命题也成立。 ③根据①②得出命题成立。 这种证明方法叫做数学归纳法
数学归纳法用框图标表示就是
验证n=n0时 命题成立
若n=k（k≥n0）时命题成立， 证明n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始所 有的正整数n都成立
应用
例1、例1如果{ an }是一个等差数列，那么对于 an = a1 + (n - 1)d 一切n∈N*都成立。用数学归纳法证明。
证明: (1)当n=1时,左边=a1 ,右边= a1+（1-1）d= a1 , 结 论成立。 (2)假设当n=k时结论成立， 即 ak + 1 = ak +(k-1)d ak + 1 = ak + d 则 当n=k+1时， = a1 +(k-1)d+d = a1 +[(k+1)-1]d凑结论 ∴当n=k+1时，结论也成立。 * 由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N 都成立。
sn = n ， 问题转化为证明： 2 1+3+5+…+（2n+1）= n
（2）猜想
s1 = a1 = 1 s2 = s1 + a2 = 4 s3 = s2 + a3 = 4 + 5 = 9 , s4 = s3 + a4 = 9 + 7 = 16
2
k2
\ 当n=k+1时，等式也成立。
* 由（1）和（2）知，等式对任何 n Î N 都成立。