成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:
1 1 1 13 , k 1 k 2 2k 24
则当n=k+1时,我们有:
1 1 1 1 1 (k 1) 1 (k 1) 2 2k 2k 1 2k 2 1 1 1 1 1 1 ( ) k 1 k 2 2k 2k 1 2k 2 k 1
ak 1 k 1 k ( ak 1 0).
故当n=k+1时,结论也成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.
证明中的几个注意问题：
(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到 n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学 归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无 效. (2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时 应根据具体情况而定. (3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要 分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是 什 么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清 应增加的项.
例1.用数学归纳法证明
上归纳假设!
2、假设n=k时，等式成立，即 k ( k 1)( 2k 1) 12 2 2 3 2 k 2 6 那么，当n=k+1时 左=12+22+…+k2+(k+1)2= k ( k 1)( 2k 1) ( k 1) 2 6 k ( k 1)( 2k 1) 6( k 1) 2 ( k 1)( k 2)( 2k 3) 6 6 =右 ∴n=k+1时，原等式成立 由1、2知当nN*时，原等式都成立
左边 k 1 k 1 (k 1)(k 2)
用上归纳假设!
k (k 2) 1 (k 1) 2 ( k 1 )( k 2 ) (k 1)(k 2) 即n k 1时等式成立。 k 1 由（ 1 ）（2）可知，对一切正整数 ，等式均成立。 右边 k 2
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： 1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）； 2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式； 3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形 式的差别，弄清左端应增加的项； 4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘 法公式、因式分解、添拆项、配方等； 5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉
用数学归纳法证明: a n n 1. n
(2)假设当n=k时,结论成立,即 则当n=k+1时,
k
1 1 1 1 Sk (ak ) ( k k 1 ) k. 2 ak 2 k k 1 1 1 ak 1 Sk 1 Sk (ak 1 ) k ak21 2 k ak 1 1 0 2 ak 1
一、提出问题
问题 1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到
学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出： 这所学校里的学生都是男同学。
问题 2：三角形的内角和为180º ，四边形的内角和为2•180º ,五
边形的内 角和为3•180º ，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) •180º 。
(2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立 【归纳递推】
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 若当n=k(kn0 )时命题成立, 验证n=n0时命 证明当n=k+1时命题也成立 题成立 命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。
【例 2】用数学归纳法证明： (n＋1)(n＋2)„(n＋n)＝2n×1×3×5ׄ×(2n－1)(n∈N*)．
①用数学归纳法证明与正整数有关的等式，关键在于“先看项”，弄清等 式两边的构成规律，等式两边有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关，由 n＝ k 到 n＝k＋ 1 时等式两边会增加多少项，增加怎样的项． ②在步骤(2)的证明过程中，突出两个“凑”字：一凑假设，二凑结论，关键是明确 n＝ k＋1 时证明的目标，充分考虑由 n＝ k 到 n＝ k＋1 时，命题形式之间的区别和联系．
数学归纳法的应用
题型一 用数学归纳法证明等式问题 题型二 用数学归纳法证明不等式问题 题型三 用数学归纳法证明整除问题 题型四 用数学归纳法证明几何问题 题型五 用数学归纳法解决探究性问题
n(n 1)( 2n 1) 6 证明：1、当n=1时,左=12=1，右= 1(1 1)( 2 1) 1 第二步的证明要用 6 ∴n=1时，等式成立 12 2 2 32 n 2
【归纳奠基】
问题情境三
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3、数学归纳法 思考题：
（1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？
（2）数学归纳法有几个步骤？每个步骤说明什么问 题？ （3）为什么这些步骤缺一不可？
（4）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？
（二）、数学归纳法的步骤
（1）证明当
n 取第一个值 n0 (n0 1 或 2) 时结论正确
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1 1 1 n ( n N ) 用数学归纳法证明： 1 2 2 3 n(n 1) n 1
证明：
1 1 （ 1 ）当n 1时，左边 ，右边 ，左边 右边，等式成立； 2 2 （2）假设当n k时等式成立，即 第二步的证明没有 1 1 1 1 k 1 2 2 3 3 4 k (k 1) k 1 当n k 1时， 1 1 1 1 1 左边 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 k 1 k 2 1 k 1 k 1 1 右边 k 2 k 2 (k 1) 1
13 1 1 13 1 13 ( ) . 24 2k 1 2k 2 24 (2k 1)(2k 2) 24
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)、(2)原不等式对一切
n N , n 2 都成立.
1 1 1 2 n (n N * ). 例6、证明不等式: 1 2 3 n
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题型二 用数学归纳法证明不等式问题
1 1 【例 4】 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不等式(1＋ )(1＋ )„(1＋ 3 5 2n＋1 1 )> 成立． 2 2n－1 1 4 5 证明：①当 n＝2 时，左＝1＋ ＝ ，右＝ ，左>右，不等式成立． 3 3 2 ②假设当 n＝k(k≥2 且 k∈N*)时，不等式成立，即
题型二 用数学归纳法证明不等式问题
例5、用数学归纳法证明:
1 1 1 13 (n 2, n N * ). n 1 n 2 2n 24
1 1 1 1 14 13 证:(1)当n=2时, 左边= 2 1 2 2 3 4 24 24 , 不等式
费马观察到： 2 2 2 2
20 21
2
1 3 1 5 1 257 1 65537
猜想：Βιβλιοθήκη 2 2 1 1723 24
Fn 2 1(n N )
都是质数
2n
......
二、概念
1、归纳法定义： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可 能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。
2、归纳法分类： 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
想一想：
由两种归纳法得出的结论一定正确吗？
（1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论 说 不一定正确。 明： 提 出 问 题
（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。
如何寻找一种严格推理的归纳法？
二、挖掘内涵、形成概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来 证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,
2k＋1 1 1 1 在用数学归纳法证明不等式时， (1＋ )(1＋ )„(1＋ )> ， 3 5 2 2k－1 往往需要综合运用不等式证明的其他方法， 如比较法、配方法、分析法、综合法、重要 那么当 n＝k＋1 时， 不等式法、放缩法(特别注意放缩要有“度”)等． 1 1 1 1 (1＋ )(1＋ )„(1＋ )[1＋ ] 3 5 2k－1 2k＋1－1 2k＋1 2k＋2 2k＋2 4k2＋8k＋4 > · ＝ ＝ 2 2k＋1 2 2k＋1 2 2k＋1 4k2＋8k＋3 2k＋3· 2k＋1 2k＋1＋1 > ＝ ＝ ， 2 2 2k＋1 2· 2k＋1 ∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 由①②知，对一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立．
题型一 用数学归纳法证明等式问题
证明：(1)当 n＝1 时，等式左边＝2，右边＝2×1＝2， ∴等式成立． 第二步的证明要用 (2)假设 n＝k(k∈N*)时等式成立． 上归纳假设! 即(k＋1)(k＋2)„(k＋k)＝2k×1×3×5ׄ×(2k－1)成立． 那么 n＝k＋1 时， (k＋2)(k＋3)„(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)ׄ×(k＋k)(2k＋1) ＋ ＝2k 1×1×3×5ׄ×(2k－1)[2(k＋1)－1] 即 n＝k＋1 时等式成立． 由(1)、(2)可知，对任何 n∈N*等式均成立．
问题 3：教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”
请问：以上三个结论正确吗？为什么? 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错 2、对 3、对 共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2是用的不完全 归纳法，问题3是用的完全归纳法。
法国的数学家费马（Pierre de Fermat） 问题情境二：数学家费马运用不完全 (1601年～1665年) 。 归纳法得出费马猜想的事例 十七世纪最卓越的数学家之一， 他在数学许多领域中都有极大的贡献， 因为他的本行是专业的律师， 为了表彰他的数学造诣， 世人冠以“业余王子”之美称，