[证明] 要证明a＋a m＋b＋b m>c＋c m. 只需证明a＋a m＋b＋b m－c＋c m>0 即可． 而a＋a m＋b＋b m－c＋c m ＝ab＋mc＋m＋a＋bma＋bm＋mc＋cm＋－mca＋mb＋m. 因为 a>0，b>0，c>0，m>0，所以(a＋m)(b＋m)(c＋m)>0.
因为 a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc ＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－ cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2.
(2)因为ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.所以ab2＋bc2＋ca2≥1.
题型二 分析法的应用 思考：分析法证明的步骤是什么？ 提示：找到使所证命题成立的充分条件，注意语言叙述．
综合法
分析法
推理方向 顺推，由因导果
倒溯，执果索因
解题思路 探路较难，易生枝节 容易探路，利于思考
表述形式 形式简洁，条理清晰 叙述繁琐，易出错
思考的侧 侧重于已知条件提供 侧重于结论提供的信
重点 的信息
息
[自我诊断] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．综合法是执果索因的逆推证法．( ) 2．分析法就是从结论推向已知．( ) 3．所有证明的题目均可使用分析法证明．( )
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出 发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知 (或已证)的不等式；
(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好 “要证”、“只需证”、“即证”等词语．
[跟踪训练] 已知 a>0，求证：
a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
[答案] 1.× 2.× 3.×
课堂互动探究 K
师生互动 合作探究
题型一 综合法的应用 思考：综合法的过程是什么？ 提示：综合法的证明特点是顺推证法或由因导果法．
在△ABC 中，三边 a，b，c 成等比数列． 求证：acos2C2 ＋ccos2A2 ≥32b. [思路导引] 由倍角公式和余弦定理化角为边，再由均值不 等式放缩．
题型三 综合法与分析法的综合应用 思考：综合法和分析法有何关系？ 提示：分析法往往从要证的结论出发，逐步分析结论成立的 条件，由果索因，而综合法是由因导果，是一个互逆过程．
已知 a，b，c 表示△ABC 的三边长，m>0，求证：a＋a m ＋b＋b m>c＋c m.
[思路导引] 先用分析法将要证明的不等式进行转化，然后 利用综合法证明．
[证明] 要证 a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
只需证 a2＋a12＋2≥a＋1a＋ 2. 因为 a>0，故只需证
a2＋a12＋22≥a＋1a＋ 22，
即 a2＋a12＋4
a2＋a12＋4≥a2＋2＋a12＋2 2a＋1a＋2，
从而只需证 2
a2＋a12≥ 2a＋1a，
只需证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12， 即 a2＋a12≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
课堂归纳小结 1.综合法：(1)用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进， 步步为营，条理清晰，形式简洁，利于表达推理的思想轨迹．(2) 综合法证明问题的步骤：第一步，分析条件，选择方向；第二步， 转化条件，组织过程；第三步，回顾反思，适当调整． 2．分析法：所证结论较为复杂或不好直接从条件证明时，我 们往往采用分析法证明问题，其关键是对结论进行变形，逐步寻 求使它成立的充分条件．
由基本不等式得a＋2 b≥ ab>0，b＋2 c≥ bc>0， a＋2 c≥ ac>0，又∵a，b，c 是不全相等的正数， ∴a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c> a2b2c2＝abc. 即a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c>abc 成立． ∴logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc 成立．
第
二
推理与证明
章
2.2
直接证明与间接证明
2.2.1
综合法和分析法
课前自主预习 K
教材为本 梳理新知
[教材研读] 预习课本 P36～41，思考以下问题 1．综合法和分析法的定义是什么？
2．综合法和分析法推证过程的特点分别是什么？
3．综合法和分析法推证命题时入手点(或思考的重点)是什 么？
[要点梳理] 1．综合法
综合法的解题步骤
[跟踪训练] 设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1.证明： (1)ab＋bc＋ac≤13；(2)ab2＋bc2＋ca2≥1. [证明] (1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以 3(ab＋bc＋ca)≤1， 即 ab＋bc＋ca≤13.
3．分析综合法：有时解题需要一边分析，一边综合，称之为 分析综合法，它表明分析与综合相互联系，分析的终点是综合的 起点，综合的终点又进一步成为分析的起点．运用综合法与分析 法联合解题时，一方面要特别注意“分析”那部分的叙述，不能 与综合混为一谈，也就是说要注意它们之间的区别；另一方面， 要习惯用分析法探求解题的途径，再用综合法完成命题的证明.
[证明] ∵a，b，c 成等比数列， ∴b2＝ac. ∵左边＝a1＋2cosC＋c1＋2cosA ＝12(a＋c)＋12(acosC＋ccosA) ＝12(a＋c)＋12a·a2＋2ba2b－c2＋c·b2＋2cb2c－a2
＝12(a＋c)＋12b≥ ac＋b2＝b＋b2 ＝32b＝右边， ∴acos2C2 ＋ccos2A2 ≥32b. 当且仅当 a＝c 时等号成立．
请做：随堂达标验收 S
因为△ABC 中任意两边之和大于第三边，所以 a＋b－c>0， 所以(a＋b－c)m2>0，
所以 2abm＋abc＋(a＋b－c)m2>0， 所以a＋a m＋b＋b m>c＋c m.
对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行 分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运 用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用．
即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)， 即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
分析法证明不等式的依据、方法与技巧 (1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性 质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明， 经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明， 常用分析法；
设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 22(a＋b)． [思路导引] 分析使此不等式成立的条件，直至出现恒成立 的结论．
[证明] 当 a＋b≤0 时， ∵ a2＋b2≥0， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立． 当 a＋b>0 时， 用分析法证明如下：要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)， 只需证( a2＋b2)2≥ 22a＋b2.
[跟踪训练] 已知 a、b、c 是不全相等的正数，且 0<x<1. 求证：logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc. [证明] 要证 logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋ logxc， 只需要证明 logxa＋2 b·b＋2 c·a＋2 c<logx(abc)， 由 0<x<1 知，只需证明a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c>abc.