数列难题放缩法的技巧
一、基本方法
1.“添舍”放缩
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。

例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3
－b 3
＝a 2
－b 2
，求证143
＜＋＜a b 。

例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证：
a a
b b b b
c c c ac a a b c 22222232
++++++++++＞（）
[变式训练]已知*
21().n n a n N =-∈求证：
*12
231
1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈
2. 分式放缩
一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分
母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。

例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b
+++。

3. 裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。

例4. 已知n ∈N*，求n 2n
13
12
11＜…+
++
+。

例5. 已知*
N n ∈且)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= ，求证：2
)1(2)1(2
+<
<+n a n n n 对所有正整数n 都成立。

4. 公式放缩
利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于*
N n ∈且3≥n 都有1
)(+>n n n f 。

例7. 已知2x 1)x (f +=，求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-。

5. 换元放缩
对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目
的。

例8. 已知c b a >>，求证
0a
c 1
c b 1b a 1>-+-+-。

例9. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三条边，且有222c b a =+，当*N n ∈且3n ≥时，求证：
n n n c b a <+。

6. 单调函数放缩
根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。

例10. 已知a ，b ∈R ，求证b
1b a
1a b
a 1
b a ++
+≤
+++。

7.放大或缩小“因式”；
例4、已知数列{}n a 满足2
111
,0,2n n
a a a +=<≤求证：121
1().32n
k k k k a a a ++=-<∑ 8.固定一部分项，放缩另外的项； 例6、求证：
222
2111171234
n ++++
< 9.利用基本不等式放缩
例7、已知
54n a n =-1-对任何正整数m n ，都成立.
10.先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩
例8、.已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n .(1)证明：n i
A i m ＜m i
A i n ；(2)证明：(1+m )
n
＞(1+n )m
二、放缩法综合问题 （一）、先求和后放缩
例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=
n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2
1
<n B 。

（二）、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例、函数f （x ）=
x
x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +
)(2
1
21*1
N n n ∈-+. 1．放缩后成等差数列，再求和
例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2
2n n n a a S +=.
(1) 求证：22
14
n n n a a S ++<；
(2)
<⋅⋅⋅+ 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a ，n ∈N *
，a ≥2，证明：n n n
a a a a
⋅+≥--)1()(2；
（2）等比数列{a n }中，11
2a =-，
前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设n
n n a a b -=12
，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：B n ＜1
3
．
3．放缩后为差比数列，再求和
例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()2
1(1 =+
=+n a n
a n n n ．求证： 1
12
1
3-++-
≥>n n n n a a 4．放缩后为裂项相消，再求和
例5、已知a n =n ，求证：∑n
k=1
k a 2
k
＜3．。