j 1
~
N
(
2
,
2
m
)
X
Y
~
N (1
2
,
2
n
2
m
)
( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1) 2 2
nm
(n 1)S12
2
~
2 (n 1) ,
(m
1)S
2 2
2
~
2 (m 1)
(n
1) S12
2
(m
1) S 22
2
~ 2 (n m 2)
X Y
与
(n 1)S12
2
(m
1)S
P
20
i1
X
i
2
7.4
P
20
i1
X
i
2
35.2
0.995 0.025 0.97
例5 设X 与Y 相互独立， X ~ N(0,16), Y ~ N(0,9) ,
X1, X2 ,…, X9 与 Y1, Y2 ,…, Y16 分别是取自 X 与 Y
的简单随机样本, 求统 计量
X1 X2 X9 Y12 Y22 Y126
求下列概率:
(1)P(| X 12 | 1); (2)P(max(X1,, X 5 ) 15); (3)P(min(X1,, X 5 ) 10).
解
(1)因为
X
~
N (12,
4 ), 5
所以
X
12 4
~
N（0，1）
5
P(|
X
12 | 1)
P
X
12
1
=2Φ(1.118)-1
4 5
4 5
=0.7364
(1)
求
P 0.37
2
1 20
20 i1
Xi
X
2
1.76
2
(2)
求
P 0.37
2
1 20
20 i1
Xi
2
1.76
2
解 (1)
(n
1)S 2
2
~
2(n
1)
即
19S 2
2
1
2
20 i 1
Xi X
2 ~ 2 (19)
故
P
0.37
2
1 20
20
Xi
i1
X
2
1.76
2
P 7.4
m = 4, n =10 m = 10, n =10 m = 15, n =10
F 分布的性质
1 若F ~ F (n, m) , 则 1 ~ F (m, n) F
2 F (n, m) 的上 分位数F (n , m) 有表可查 :
P(F F (n, m))
例如 F0.05 (4,5) 5. 19
2
2 2
相互独立
( X Y ) (1 2 )
2 2
nm
(n
1) S12
2
(m
1)
S
2 2
2
nm2
( X Y ) (1 2 )
1 1
(n
1) S12
(m
1)S
2 2
~ t(n m 2)
nm
nm2
(4)
例3 设总体 X ~ N (72,100,)为使样本均值
大于70 的概率不小于 90% ,则样本容量
则称 x /2 为X 所服从的分布的双侧 分位数
标准正态分布的上 分位数 z
z0.05 1.645 常用
z0.025 1.96
数字
z•
z0.005 2.575
/2 -z•/2
-z/2 = z1-/2
/2
z•/2
6.2.2 2 (n) 分布(Chi squared r.v.)
定义 设 X 1, X 2 ,, X n 相互独立,
n
X
2 i
n
i1
E
(
X
4 i
)
1
x e4
x2
2
dx
3
2
D( X
2 i
)
E(X
4 i
)
E
2
(X
2 i
)
2
D 2 (n)
D
n
X
2 i
2n
i1
6.2.3 t 分布 (Student 分布)
定义 设X ~ N (0,1) , Y ~ 2 (n), X , Y 相互独立,
T
X Y
n
S12 S22
~
F(n 1, m 1)
设 X1, X 2 ,, X n 是来自正态总体 X ~ N (1, 2 )
的一个简单随机样本
Y1,Y2 ,,Ym 是来自正态总体 Y ~ N (2 , 2 )
的一个简单随机样本 , 它们相互独立.
则
X
1 n
n i 1
Xi
~
N
(1
,
2
n
)
Y
1 m
m
Yj
所服从的分布.
解 X1 X 2 X9 ~ N ( 0, 916)1 34Fra bibliotek(X1
X
2
X9
)
~
N
(
0, 1)
13Yi ~ N (0,1) ,i 1,2,,16
16
i1
13Yi
2
~
2 (16)
从而
X1 X2 X9
Y12 Y22 Y126
1 3 4
X1
X2
16 i 1
1 3
Yi
由于正态总体是最常见的总体, 故本节介绍的 几个抽样分布均对正态总体而言.
6.2.1 正态分布(Normal distribution)
若
X1, X2,, Xn
i.~i.d.
N
(
i
,
2 i
)
则
n
ai X i
~ N
n
aii ,
n
ai2
2 i
i1
i1
i1
特别地,
若 X1, X 2 ,, X n i.~i.d. X i ~ N (, 2 )
查
PT t
t t1
n = 10
-t•
t•
PT 1.8125 0.05 t0.05(10) 1.8125
PT 1.8125 0.05
PT 1.8125 0.95
t0.95 (10) 1.8125
P(T
t / 2 )
2
P T t /2
/2
-t•/2
/2
•t/2
n —4—2 .
解 设样本容量为 n , 则
X ~ N (72,100) n
故 P(X 70) 1 P(X 70) 0.2 n
令 0.2 n 0.9 查表得 0.2 n 1.29
即 n 41.6025 所以取 n 42
例4 从正态总体 X ~ N (, 2 ) 中，抽取了
n = 20 的样本 X1, X 2 ,, X 20
且都服从标准正态分布N (0,1),则
n
X
2 i
~
2(n)
i 1
n = 1 时,其密度函数为
f
(x)
0,
1 x e , 12
x 2
2
x0 x0
n = 2 时,其密度函数为
f
(x)
1
e
x 2
,
2
0,
x0 x0
为参数为1/2的指数分布.
一般地, 自由度为 n 的 2(n) 的密度函数为
f
(
P 2(10) 18.307 0.05
n = 10
•20.05(10)
n
证 1 设 2 (n)
X
2 i
X i ~ N (0,1) i 1,2,, n
i 1
X1, X 2 ,, X n 相互独立,
则
E(X i ) 0,
D(X i ) 1,
E(
X
2 i
)
1
E 2 (n)
E
2
X9
~ t(16)
16
例7 设 X1, X 2 ,, X n 是来自正态总体N ( , 2 )
的简单随机样本, X 是样本均值,
S12
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2,
S32
1 n 1
n i1
(Xi
)2,
S22
1 n
n i1
(Xi
X
)2,
S42
1 n
n i1
(Xi
)2,
则服从自由度为n - 1的t 分布的随机变量为:
x)
1
n
e x ,
x 2
n 2
1
2
2
(
n 2
)
其中，
0,
(x) t e x1 t dt 0
x0 x0
在x > 0 时收敛，称为 函数，具有性质
(x 1) x(x),
(1) 1, (1/ 2)
(n 1) n! (n N )
2 (分n)布
n=2
密度函数图
n=3
n=5 n = 10
则T 所服从的分布称为自由度为 n 的t 分 布其密度函数为
f (t)
Γ
n
n
2
1
Γ n
1
t2 n
n1
2
2
t
n=1
n=20
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)