函数复习课：数学思想方法之数形结合一、教学设计意图《义务教育数学课程标准（2011版）》教学建议中说：数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习，不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题的能力和解决问题的能力。

所以在学习知识复习阶段创设一节融数学知识、思想方法、提出问题、分析问题、解决问题于一体的课有其重要价值。

而选择良好的知识载体凸现数形结合的作用，又要具备一定思维价值，怎么选择呢？回顾人教版的学生第一次接触“数形结合”是在七年级下册的《平面直角坐标系》，笛卡儿1坐标的引入让代数和几何连接起来，是代数和几何相结合的理论基础。

之后随之而学的函数则是这种数形结合的良好运用，所以选择“函数”内容是最佳的选择。

为了让“数形结合”思想更融洽自然地体现，我们设置有效的问题串来形成学习过程。

什么叫“有效”？激发学生思维、数形结合的意识自然渗透、自主选用。

我们用递进的问题串让学生找到数形结合的抓手，即解决问题的落脚点。

所以我们选择了一条直线分别与直线、抛物线、双曲线结合的图形进行研究其中的形、数关系。

二、学情分析数形结合思想是一种抽象思维和形象思维的结合，学生在《反比例函数》章节止，已经多次经历数形结合的学习过程。

但学生是否在过去的学习过程中真正感悟到数形结合思想，1坐标系的提出者是勒奈·笛卡尔, 他最主要的成果莫过于“几何学”，准确的说是将代数和几何连接起来。

当时，代数还比较新，在数学家的头脑中，几何学的思维仍占据一席之地。

笛卡尔一直在思考，能不能把几何学的问题用代数的形式表达出来，打破两者之间的界限。

坐标系创立于1637年，笛卡尔当年创立坐标系还有一个故事。

笛卡尔是在参军时，刚刚到了一个陌生的地方，他辗转反侧，难以入睡，又开始思考几何和代数的结合。

然而，思绪一时半会理不清，笛卡尔无聊之际看到墙面上忙着爬行织网的蜘蛛，玩心大起，顿时有了兴趣，仔细观察了起来。

看着蜘蛛有规律地横竖交替地编织网格的时候，沉思中的笛卡尔灵机一动：蜘蛛运动的轨迹能不能这一条条的线来定位呢？蜘蛛所处的位置是不是也可以用线相交形成的点来确定呢？他仔细观察两面垂直的墙面以及天花板的交线，三平面是两两垂直的。

他拿出笔来，仿照着画出了三条相互垂直的直线，分别代表两墙面的交线以及墙面和天花板的交线，在纸上描出一个点代表爬行于墙面的蜘蛛。

蜘蛛这个点到三平面的距离自然是可以计算出来的，那么，这个点不就唯一确定了吗？它的位置就能精确唯一地被表示出来了。

笛卡尔欣喜若狂，他在日记里写道：“第二天，我开始懂得这惊人发现的基本原理。

”此时，他有了将代数和几何相结合的理论基础。

随后便一发不可收拾，根据这种数形结合思想，他创立了我们现在所谓的“解析几何学”，在平面上，用一点到两条固定直线的距离来描述点的位置；在空间中，就用一点到三个相互垂直平面的距离来精确定位点。

此时，几何问题不仅可以用代数形式表示，还可以用代数变换来实现其几何性质。

解析几何的出现，有着跨时代的意义。

它改变了自从古希腊以来，几何和代数分离的趋势，将原本对立的两个概念——数与形，完美地统一起来，让几何曲线和代数方程结合起来。

这一天才的创新为微积分的创立奠定了基础。

笛卡尔的发明不仅为牛顿、莱布尼兹发现微积分开辟了道路，还开拓了变量数学的领域。

为什么这么说呢？笛卡尔对点的定位从另一方面讲是把曲线看成是点运动的轨迹，这一观点建立了点和实数的对应，将形（点、线、面）和“数”统一起来，将变数引进到数学中，数学不再是由常量组成的，也囊括了时时改变的变量。

恩格斯给出了高度评价：数学中的转折点就是笛卡尔的变数，有了变数，运动才进入了数学，辩证法才进入了数学，微分和积分也就有了成立的基础。

并主动用这种思想方法解决问题是这节课要落实和渗透的。

三、 教学目标、重难点教学目标：通过函数知识的复习让学生进一步意识到代数和几何的联系，会用数形结合思想解决相关函数问题教学重点：函数问题的读图能力及用数表达图形的能力教学难点：激发学生主动地把数转化为形，形表述为数的能力四、 教学过程设计1.思考引入，整合知识引入：同学们好，今天我们学习一节《函数》复习课。

我们刚刚学完了反比例函数，之前学习了一次函数、二次函数，我们知道各种函数的学习基本分为这几块内容：函数及其图象；函数与方程、不等式的联系；函数的应用。

我们已经具备了函数的基础知识、基本技能，而今天这节课我们要复习的是函数学习中反映出的某些基本思想、基本活动经验。

（书写课题：数学思想之 ）师：同学们认为函数中最常用的数学思想是什么？师：大家还记得进入初中学习后第一次接触“数形结合”是在什么章节内容吗？师：人教版教材七年级下册学习的《平面直角坐标系》中，笛卡尔坐标系的引入就是将代数和几何连接起来，比如，用一对有序数对表示一个平面上的点，而点的横、纵坐标分别代表点到两条线段的长度，此时，数和形有效结合，几何学的问题用代数的形式表达出来，打破两者之间的界限。

师：我们在如下的问题串中体会这种思想。

2.体会数形结合，形成一定感悟问题1：如图，直线)0(≠+=k b kx y 过点A(-1,2)和B （-2，0），则x b kx 2-≤+的解集为 （估计学情：学生可能用待定系数法求解函数，再解不等式；也可能直接看图根据函数值的大小求解。

）师：什么方法最好？你为什么想到这种方法？师：如果对上题，去掉一个条件但不影响解题，你认为去掉什么？为什么可以去掉这个条件？ （教学重点：以上提问中，教师更强调的是为什么：知其然，然后知其所以然）变式：如果把上面的问题改为求x b kx 20-≤+≤，它的的解集为师：你怎么看待这个变化，与及怎么理解它的解题思路变化？设计意图：从学生的两种解法（数、形）入手，通过合理的问题串，让学生理解数形的结合问题2：如图，已经一次函数)0(≠+=k b kx y 与反比例函数xy 4=的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为2，点B 的纵坐标为-4，当x 满足什么条件时，一次函数的值比反比例函数的值大？师：在这道题中，你有什么发现或归纳要交流吗？变式：若点A 的横坐标与点B 的纵坐标均为1，当x 满足什么条件时，一次函数的值比反比例函数的值大？（估计学情：学生习惯有图的题所以缺少尝试，不去动手，或不能动手，也有可能图形或答案错误）师：我们刚才发现问题2中，图形对解题有很大的作用，从图形中可以感知数的关系。

那么，请你试着先画出示意图再去寻找答案师：说说自己的错误原因吧师：数形结合，可以来源于已知的图形给以的联想，也可以是自己实践过程中的尝试和发现。

3.应用数学思想，解决数学问题问题3：如图，已知抛物线x x y 421+-=和直线x y 22=.我们约定：当x 任取一个值时，x 对应的函数值分别为1y 和2y ，若21y y ≠时，取1y 和2y 中的较小值M ；若21y y =时，由记21y y M ==.①x>2时，2y M =；②当x<0时，M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的值不存在;④若M=2，则x=1。

其中正确的说法是 .师：对数形结合，你有什么体会呢？4.小结与反思1. 这节课的收获与体会（学生谈）2. 数学文化之数形结合我们为什么要培养学生的数形结合意识，数学家阿蒂亚（1929－）在《数学的统一性》一书中给出了答案。

他认为几何是数学中这样的一部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分。

这种区分也许用另一对词刻画更好，即“洞察”对“严格”，两者在真正的数学研究中都起着本质的作用。

它们在教育中的意义也是清楚的。

教学的目标应是培养学生发展这两种思维模式，过分强调一种而损害另一种是错误的。

所以在数学学习中，我们愿意看到几何和代数在解题思想中的融汇。

“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中，书中有一首小诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数无形时少直觉，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”体会华先生的小诗，我们去理解几何与代数――“洞察”与“严格”间的和谐相处。

比如，在函数教学中，数表示的是一种精确化研究，形则反应出对函数的一种直观认识和整体把握。

研究函数的性质，有数无形难以直观把握函数整体，有形无数不能精确运算。

在具体的实践操作时，对数形结合的解读体现为叶老师教学时提出的“读图象中的关键东西，如交点”其实就是在形中找数，把研究精确化；强调“自变量的取值范围”则是带着数从形的角度直观寻找，整体把握函数性质。

3. 谈谈数学思想什么叫数学思想，通俗地说，数学思想就是将具体的数学知识都忘掉后剩下的东西。

当学生完成学业进入社会后，若干年后他会忘记数学知识，但数学思想中的获益却可以是终生的。

《义务教育数学课程标准（2011版）》中基本数学思想主要是指数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想。

而“数形结合思想”就是从“数学抽象思想”派生出来的。

那么通过怎样的数学素材、怎样来培养学生的“数形结合”思想？教学时，老师要区别数学思想和数学方法这两个概念。

“数学思想”是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的。

而“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的。

师：刚才的题中我们都看到了“如图”，可不可以认为图形给了我们从形到数，从数到形的启示呢？如果去掉“如图”两字，我们还会有数形结合的启发吗？因为课明有限，现在布置一道家作，请同学们课后去思考完成。

5.布置作业，课后拓展家作：已知一次函数)0(<+=k b kx y 与反比例函数交于点A(1,3)及点B ，当△AOB 的面积为4时，求k 的值.设计意图：从有图的“如图”到无图的题目，学生会有数形结合的意识吗？数形结合会对解决这类问题起到帮助吗？。