第六章 自相关
Econometrics 胡亚南
本章主要讨论:
什么是自相关 自相关的后果 自相关的检验 自相关的补救
Econometrics
2
第一节 什么是自相关
自相关的概念 自相关产生的原因 自相关的表现形式
自相关的概念
自相关的概念
自相关，又称序列相关，是指总体回归模型的随机误差项ui之 间存在相关关系
第二节 自相关的后果
一阶自回归形式的性质 自相关对参数估计的影响 自相关对模型检验的影响 自相关对模型检验的影响
一阶自回归形式的性质
一阶自回归的性质
对于 可以证明：
ut ut1 vt
ut (ut2 vt1) vt
2 (ut3 vt2 ) vt1 vt
3 (ut4
供给对价格的反应要滞后一段时间，它表示某种商品的供给量受前一期价格
因为供给需要经过一定的时间才能 影响而表现出来的某种规律性，即呈蛛
实现。如果时期t的价格 Pt 低于上 网状收敛或发散于供需的均衡点。
一期的价格 Pt-1 ，农民就会减少时
期t 1 的生产量。如此则形成蛛网
St 1 2Pt1 ut
而夸大 2 的显著性，使得 t 检验失效， 同理，F 检验也将失效
自相关对模型预测的影响
自相关对模型预测的影响
模型预测的精度决定于：◆抽样误差◆ui 的方差 2
◆抽样误差来自于对
ˆ
的估计，存在自相关时，OLS估计的
j
Var(ˆj ) 变得不
可靠，会影响抽样误差。
◆在自相关情形下，用 ˆ 2 ei2 / n k 对 2 的估计也会不可靠。
n
ut ut 1
ˆ
t2 n
u2 t 1
t2
n
ut ut 1
t2
n
n
ut2
u2 t 1
t2 t2
在样本容量大时有
ut2
u2 t 1
（回归系数公式） （相关系数公式）
自相关的表现形式
ut 的二阶自回归形式，可记为 AR(2)
ut 1ut1 2ut2 vt
ut 的K阶自回归形式，可记为 AR(k) ut 1ut1 2ut2 kutk vt
E(vt ) 0
Var
(vt
)
2 v
cov(vt , vs ) 0
Yt Yt1 (1 1) 2 ( X t X t1) (ut ut1)
Yt*
1*
2
X
* t
vt
广义差分法
注意：
●前提条件是已知自相关系数 ρ ●广义差分后只有n-1个观测值,为避免观测值损失，Y和X的第一个观测值可
现象，此时的供给模型为:
自相关产生的原因
（5）模型设定偏误 如果模型中省略了某些重要的解释变量或者模型函数形式不正确，都
会产生系统误差，这种误差存在于随机误差项中，从而带来了自相关。
自相关产生的原因
自相关关系主要存在时间序列数据中，但是在横截面数中也可能出现 自相关，通常称为空间自相关
自相关的表现形式
k xt xtk
k 1
xt2
]
自相关对模型估计的影响
E( ei2) 2[(n 2) (2
X t X t1
X
2 t
2 2
Xt Xt2
X
2 t
2 n1
XtX
X
2 t
n
)]
自相关对模型检验的影响
自相关对模型检验的影响
可能过低估计参数真实方差和标准误差则可能过高估计 t ˆ2 SE(ˆ2) ，
检验
v(1) t
的自相关性，若还有自相关，用
et(1)第二次估计
1*
1* (
et(1)
e (1) t 1
)
(
e(1) 2 t 1
)
3）用 1* 作一阶差分回归
原假设:
H0 : 0
建立 DW 统计量（也称d统计量)：
H1 : 0
n
(et et1 )2
d 2 n
et2 1
关键是设法确定D的分布
DW检验法
可以证明:
n
(et et1)2
d 2 n
et2
et2
e2 t 1
2
et2
et et 1
1
大样本时:
e2 t 1
et2
d 2(1
期。 由此带来变量的自相关性。 居民可支配收入 人的消费观念
自相关产生的原因
（3）数据处理造成的相关 因为某些原因对数据进行了修整和内插处理，在这样的数据序列中就会
有自相关。 将月度数据调整为季度数据 对缺失的历史资料
自相关产生的原因
（4）蛛网现象
许多农产品的供给呈现为蛛网现象，蛛网现象是微观经济学中的一个概念。
et et 1 et2
)
2(1
ˆ )
可见，对ρ=0的检验等价于对 d=2 的检验
ˆ utut1 etet1
ut2
et2
DW检验法
德宾—沃森DW检验的假定条件 解释变量X非随机 模型包括截距项（不是通过原点的回归）
解释变量中不含滞后被解释变量，如 Yt1
u i的自相关是一阶自回归形式，即
影响预测精度的两个因素都可能因自相关的存在而加大不确定性，使预测的 置信区间不可靠，从而降低预测的精度。
第三节 自相关的检验
图示检验法 DW检验法 Breusch-Godfrey检验（LM检验）
图示检验法
图示检验法
绘制et-1 和 e t的散点图 按时间顺序绘制残差项 et 的图形
图示检验法
Breusch-Godfrey检验(LM检验)
Breusch-Godfrey检验(LM检验)
问题的提出: DW检验应用广泛且方便，但有一定局限： 1.只适用于一阶自相关的检验，高阶自相关怎么检验? 2.有一些限制条件，如无滞后被解释变量等.
Breusch-Godfrey检验(LM检验)
基本思想：基于所分析模型的普通最小二乘估计的残差对解释变量和 一定数量滞后残差的辅助回归，如果滞后残差足以解释当前残差的变 异，就拒绝误差自相关的原假设。
vt3 )
v2 t2
vt 1
vt
一般关系： 期望
ut ut1 vt kvtk k 0
E(ut ) k E(vtk ) 0 k 0
一阶自回归的性质
方差
2 u
Var(ut
)
Var(
kvtk )
2kVar(vtk )
t0
t0
2 v
(1
2
4
)
2 v
1 2
协方差
k 1时
类推可得
可用剩余 e 替代 u 去估计
et et1 vt
* etet1
e2 t 1
迭代的方法步骤：
e 1）用OLS估计原模型，计算回归剩余 t ，并估计 *
* ( et et1 ) ( et12 )
2）用 *作一阶差分回归
Yt
*Yt 1
1(1
*)
2 ( X t
*
X
t
1
)
v(1) t
用如下普莱斯－温斯腾变换得第一个观测值
Y1* Y1 1 2
X
* 1
X1
1 2
●模型已成为变换了的新变量之间的回归
自相关系数的ρ确定
自相关系数ρ的确定
思想: 通常ρ未知，为用模型变换处理自相关，必须设法找到ρ的估计值
自相关系数ρ的确定
简单的方法： 用DW统计量估计ρ
已知
d 2(1 ˆ )
Cov(ut
, ut1)
(
2 v
2
2 v
4 2 v
)
1
2 v
2
k 2时
Cov(ut
, ut2
)
E (ut ut 2
)
2
2 v
1 2
Cov(ut
, utk
)
E (ut ut k
)
k
2 v
1
2
自相关对参数估计的影响
自相关对模型估计的影响
1. 参数的OLS估计式仍然是无偏的 2. 用OLS估计的参数的方差不再具有最小方差
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Breusch-Godfrey检验(LM检验)
用OLS估计模型： Yi 1 2 X2i 3X3i k Xki ui ， 得到残差 ei 作辅助回归：et 1 2 X 2t 3 X3t k X kt 1et1 2et2 pet p vt 计算可决系数 R2，构造统计量TR2 2( p) 给定显著性水平，找临界值，判断
Breusch-Godfrey检验(LM检验)
与DW检验不同，BG检验有一些特点： BG检验不只限于一阶自相关，还适合于高阶自相关的检验； 适合检验模型的解释变量中滞后被解释变量 Yt-1、Yt-2 如的情况
BG检验的滞后长度p不能先验确定
第四节 自相关的补救
广义差分法 自相关系数的 ρ 确定
自相关的概念
假定．随机误差项无自相关：ui在不同观测点之间是不相关的
Cov(ui ,u j ) E(uiu j )=0 (i j)
如果该假定不满足，就称 ui 和 uj 存在自相关
Cov(ui ,u j ) E(uiu j ) 0 (i j)
自相关的概念
自相关的程度可以用自相关系数去表示
自相关的表现形式
如果Cov(ut ,ut1) 0 称 ut 序列存在一阶自相关
如果 ut的自相关形式为: ut ut1 vt
其中 vt 满足OLS基本假定:
E(vt ) 0
Var
(vt
)
2 v
C ov(vt , vs ) 0