平面向量的数量积
一．选择题
1. 已知 a ( 2,3), b ( 1, 1),则 a ?b 等于 （
）
A.1
B.-1
C.5
D.-5
r r r r
r r r r
2．向量 a ， b 满足 a 1, b 4, 且 a b 2 ,则 a 与 b 的夹角为（
）
A ．
B ．
4
C ．
D ．
2
6 3
r
r
60 0
r r
）
3．已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为
，那么 a 3b
（
A ． 7
B ． 10
C ． 13
D ． 4
4 ．若平面向量
与向量 的夹角是 ，且 ，则
(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
5. 下面 4 个有关向量的数量积的关系式①
0 ?0 =0 ②（ a ?b ） ?c = a ?（ b ? c ）
③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | ≦ a ?b
⑤ | a ?b | | a | ?| b | 其中正确的是（
）
A ． ① ② B。
① ③ C 。
③ ④
D。
③ ⑤
6. 已知 |
a |=8 ， e 为单位向量，当它们的夹角为
时，
a 在 e 方向上的投影为（
）
3
A ． 4 3B.4
C.4
2
3
D.8+
2
7. 设 a 、 b 是夹角为
的单位向量，则
2a b 和 3a 2b 的夹角为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
8. 已知 a =(2,3) , b =( 4 ,7) , 则 a 在 b 上的投影值为（
）
A 、 13
B
、 13
C 、
65
D 、 65
5
5
9. 已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b 与
a
3b 垂直时 k 值为
（
）
A 、 17
B 、 18
C 、 19
D 、 20
10. 若向量 a=(cos ,sin ) ， b=(cos ,sin ) ，则 a 与 b 一定满足（）
A 、 a 与 b 的夹角等于+
B 、( a＋ b) ⊥ ( a－ b)
C 、 a∥b
D 、a⊥ b
11. 设 i , j 分别是x轴， y 轴正方向上的单位向量，OP 3cos i 3 sin j ，
uuur r
来表示 OP 与OQ的夹角，则
(0, ), OQ i 。
若用等于（）2
A 、
B 、
2 C 、 D 、
2
uuur
uuur uuur
12. 已知向量OA cos15 ,sin15 ,OB cos75 ,sin 75 ，则 AB 为（）
A．1
；B． 2 ； C ． 3 ；D． 1 2 2 2
13.已知向量 OP =(2，1)， OA =(1，7)， OB =(5，1)，设X是直线OP上的一点(O为坐标原点 ) ，那么XA XB 的最小值是()
A、-16
B、 -8
C、0
D、4
14. 若O为ABC 所在平面内一点，且满足 OB OC OB OC 2OA 0 ，则ABC 的形状为（）
A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形 D． A、 B、 C均不对
15.ABC 中，若BC a ， CA b ， AB c ，且 a b b c c a ，则ABC 的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．A、 B、 C均不正确
16.已知 O为原点， A，B 点的坐标分别为（ a，0），（ 0，a），其中常数 a＞ 0，点 P 在线段 AB 上, 且AP＝ t AB （ 0≤ t ≤ 1），则OA · OP 的最大值为（）
A、aB 、 2a C 、 3a D 、 a2
二．填空题
17. 已知向量OA ( 1,2),OB (3, m), 若
OA AB, 则m _______。
18．若| a|=1,|b|=,( a-b) ⊥ a, 则 a 与 b 的夹角为 _________。
19. 在△ ABC中 , AB = a , BC = b , 且a·b＜ 0, 则∠ B 是角。
20. 已知a 2 ， b 3 ， a ， b 的夹角为 1200，则 a b ＝_________。
21. 已知a 5 , b 2 ， a b 3 ，则 a b ＝。
22.已知 | a |=3 ，| b |=2 ，a与b夹角为 600，如果（ 3 a +5 b）⊥（ m a–b），则 m值为 _______。
r
3 r r r
23.已知a , b 2，且 a 与 b 的夹角为 600，则 a b 。
r
(2, 2) r
24．若a ，则与 a 垂直的单位向量的坐标为__________。
三．解答题
r rr r r r r r
2 r r
25. 已知a 3，b 4，且a与b的夹角150 ，求 a ?b ， (a b) ， a b 。
26.| r
a |=4，|
r r
b |=3，（2 a -3
r r r
b）?（2a+ b ）=61，求
r
a 与
r
b 的夹角
27. 已知a(2, 3),b (1, 2), a c, b? c 1. 求c的坐标。
28.已知向量 a 3e1 2e2 , b 4e1 e2 ,其中 e1 (1,0), e2 (0,1)
, 求
r r r
r
(1 ） a ?b 和a b 的值；(2）a与b的夹角。
r r
29.已知 a (cos ,sin ) ， b (cos ,sin ) ，其中 0 ．
r r r r
(1) 求证：a b 与 a b 互相垂直；
(2) )若a b 0 ，求的值 ( k为非零的常数 )．。