至善教育宁波分部11.26
一元一次不等式讲义
【精讲】
一、知识点回顾
一般地，用符号“＜”、“≤”、“＞”、“≥”、“≠”连接的式子叫做不等式。
注意：⑴要弄清不等式和等式的区别：等式有等号，而不等式没有。
⑵常用的不等号有：＜、≤、＞、≥、≠。
例：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。
①3 2 ；②2x 1 ；③2x 1 ；④s vt ；⑤2m 8x 3 ；⑥1
x
2 4x ；⑦3x 8 ；⑧
5x 2 2x 3 ；⑨ 2 4 0
x ；⑩2x
3 0 。
⑶列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如：“正数( ＞0) ”，“负数（＜0）”，“非正数（≤0）”，“非负数（≥0）”，
“超过(＞0) ”，“不足（＜0）”，“至少（≥0）”，“至多（≤0）”，
“不大于（≤0）”，“不小于（≥0）”
⑷除了⑶常见不等式所表示的基本语言与含义还有：
①若a－b＞0，则a大于b ；②若a－b＜0，则a小于b ；③若a－b≥0，则a不小于 b ；④若a－b
≤0，则a不大于 b ；⑤若ab＞0 或a 0
b
a
，则a、b 同号；⑥若ab＜0 或0
b
，则a、b 异号。
⑸不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：a＜b 可转换为b＞a，c≥ d 可转换为d≤c。
例：规定一种新的运算： a b a b a b 1，比如： 2 3 2 3 2 3 1 ，请你比较：
3 4 4 3 ， 3 4 4 3 。
（填不等号）
练习：1、用不等式表示：⑴ a 是正数：；⑵x 的平方是非负数：；
⑶a 不大于b：；⑷x 的3 倍与－2 的差是负数：；
⑸长方形的长为x cm，宽为10cm，其面积不小于200cm
2 ：。
2、试判断 2 3 7
a a 与3a 2 的大小。
3、如果a b 0 ，b 0，则a, b, a, b 的从打到小的排序是：。
2、不等式的基本性质：
有时，为了更好的理解新旧知识之间的异同，便以表格形式将二者进行比较。
等式的基本性质不等式的基本性质一般形式
两边同时加上（或减去）同一个代性质1：两边都加上（或减去）同一个整式，若a b ，则数式所得结果仍是等式。
不等号的方向不变。
a c b c
两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数）所得结果
仍是等式。
性质2：两边都乘以（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变。
性质3：两边都乘以（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变。
若a b ，c 0 则
ac bc
若a b ，c 0 则
a c
b c
例：用最确切的不等号填空：
①若3＜x，则x 3 ；②若-2 ＜x，则0x+2；③若－2a≥8，则a 4 ；④若x＞y，则m
2 x m
2 x m
⑵关于x 的一元一次方程4x-2m+1=5x-8 的解是负数，则m的取值范围是。
2 y。
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⑶如果m n 0 ，那么下列结论中错误的是（）
A．m 9 n 9 B. m n C. 1
n
1
m
m
D. 1
n
3、不等式的解和不等式的解集的定义：
⑴能使不等式成立的未知数的值（一个或几个），叫做不等式的解。
⑵一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
注意：不等式的解集，包含两方面的含义：
⑴未知数取解集中的任何一个值时，不等式都成立。
⑵未知数取解集外的任何一个值时，不等式都不成立。
⑶求不等式的解集的过程叫做解不等式。
⑷不等式的解集可在数轴上直观表示。
注意：用数轴表示不等式的解，应记住规律：
大于向右画，小于向左画，有等号( ≤、≥) 画实心点，无等号( ＜、＞) 画空心圈。
例如：不等式x＞5 的解集可以用数轴上表示 5 的点的右边部分来表示，在数轴上表示 5 的点的位置
上画空心圆圈，表示 5 不在这个解集内。
不等式x－5≤－1 的解集x≤ 4 可以用数轴上表示 4 的点及其左边部分
来表示，在数轴上表示 4 的点的位置画实心圆点，表示 4 在这个解集内。
例1：求不等式中字母的取值（实质仍是解不等式）
关于不等式2x a 2的解集如图所示， a 的值是（）
A、0 B 、2 C 、－2 D 、－4
例2：不等式3x 5＜3 x 的正整数解有( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
练习：⑴解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。
①x 1 1；②2x 3 0
⑵填空题：①大于0 且小于π的整数是；②x 4 ，则x的最小整数是。
3
⑶李强同学用若干根长度相等的火柴棒在桌面上首尾相接地摆三角形，其中三角形的一边用了 3 根火
柴棒，另一边用了 6 根火柴棒，那么第三边最少用根火柴棒，最多用根火柴棒。
⑷不等式x 3的解集在数轴上表示为（）。
【答案B】
A. B ． C ． D ．
0 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3
1 2 3
4、一元一次不等式的定义和解法：
⑴不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一
元一次不等式。
其标准形式：ax+b＜0 或ax+b≤0，ax+b＞0 或ax+b≥0(a≠0) ．
⑵解一元一次不等式的一般步骤：
x 1 3x 1
例：解不等式： 1
2 3
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练习：⑴解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。
①
3 2 5 3x 12
x ；②
3 4
2x
3x
2
1 5 2x
3
⑵某商品原来的价格为6元/ 件，涨价x%后仍不高于9 元/ 件，求x 的最大值。
6、一元一次不等式组：
⑴关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组。
⑵一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
⑶一元一次不等式组的解法：先解出各个不等式的解集，然后再找出它们的公共部分。
可以利用数轴来找。
一元一次不等式组解集图示语言表达
x x a
b
（a b）x b
a b
同大取大
x x a
b （
a b）x a
a b
同小取小
x x a
b （
a b） a x b
a b
大小小大中间
取
x x a
b （
a b）无解 a b
大大小小无解
答
2x 3 1
，①
例1：解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．
x 1
2≥x. ②
2
例2：求不等式组中字母的取值
已知不等式组3 2x 1
≥，
无解，求 a 的取值范围x a 0
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7、列不等式（组）解应用题的一般步骤：
①弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数
②找出能表示题目全部含义的一个（多个）不等关系。
③根据这个不等关系列出所需要的代数式，从而列出不等式（组）
④解这个不等式（组），求出解集
⑤写出符合实际意义的解。
例1：将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分 5 个苹果，则还剩12 个苹果；若每个小朋友分8 个苹果，则有一个小朋友分不到 5 个苹果。
问有多少苹果多少小朋友？
例2：某工厂现有甲种原料280 kg ，乙种原料190 kg ，计划用这两种原料生产A、B 两种产品50 件，已知生产一件 A 产品需甲种原料7kg，乙种原料3kg，可获利400 元；生产一件 B 产品需甲种原料3kg，乙种原料5kg，可获利350 元；（1）请问工厂有哪几种生产方案？（2）选择哪种方案可获利最大，最大利润
是多少？
练习：1、解下列不等式组
x 1 2x 2x 5 3(x 2)
（1）x（2）
3 2
2 x 1 x 2 3
2、用若干辆载重量为8 吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装 4 吨，则剩下20 吨货物；若每辆汽车装满8 吨，则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车？
3、一群女生住若干间宿舍，每间住 4 人，剩19 人无房住；每房住 6 人，有一间住不满，则有宿舍多少间？学生有多少名？
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