第7章--一元一次不等式与不等式组-讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第7章 一元一次不等式与不等式组1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”．2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是:①确定边界点。

解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；②确定方向：大向右，小向左。

说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．3．不等式的基本性质(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果a >b ,那么a +c >b +c ,a -c >b -c .(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a >b ,并且c >0,那么a c >b c （或___a b c c） （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a >b ,并且c <0,那么a c <b c （或___a b c c） 不等式的对称性： 如果a>b ，那么b<a不等式同向传递性： 如果a>b ，b>c,那么a>c说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：①若a －b ＞0，则a 大于b ； ②若a －b ＜0，则a 小于b ； ③若a －b ≥0，则a 不小于b ； ④若a －b ≤0，则a 不大于b ； ⑤若ab ＞0或0a b>，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0a b<，则a 、b 异号。

任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b>O ⇔a>b ； ②a -b=O ⇔a=b ； ③a-b<O ⇔a<b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换;但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。

4．一元一次不等式只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．注：其标准形式： ax+b ＜0或ax+b ≤0， ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)．5．解一元一次不等式的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1．说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例：131321≤---x x 解不等式： 解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （ （不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!）移 项，得 23663-+≤-x x （移项要变号）合并同类项，得 73≤-x （计算要正确）系数化为1， 得 37-≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）6．一元一次不等式组含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．7．一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．8. 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <)①⎩⎨⎧>>b x a x 的解集是b x >，如下图： ②⎩⎨⎧<<b x a x 的解集是a x <，如下图： 同大取大 同小取小③⎩⎨⎧<>b x a x 的解集是b x a <<，如下图： ④⎩⎨⎧><bx a x 无解，如下图：大小交叉取中间 大小分离解为空9．解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．10. 不等式应用题用一元一次不等式组解决实际问题的步骤：⑴审题，找出不等关系；⑵设未知数；⑶列出不等式；⑷求出不等式的解集；⑸找出符合题意的值；⑹作答。

例1.现计划把甲种货物1240t 和乙种货物880t 用一列货车运往基地,已知这列货车挂有A 、B 两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元.(1)设运送这批货物的总费用为y 万元,这列货车挂A 型车厢x 节,试写出y 与x 之间的函数关系式.(2)如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35t 和乙种货物15t,每节B 型车厢最多可装甲种货物25t 和乙种货物35t,装货时按此要求安排A 、B 两种车厢的节数,那么共有几种方案(3)在(2)的方案中,哪种方案费用最省并求出最省费用.【分析】题(1)中总费用应该是A 型车厢的费用和B 型车厢的费用的总和. 题(2)的要求是A 型车厢的甲种货物最大装载量与B 型车厢的甲种货物最大装载量的和不少于1240吨；A 型车厢的乙种货物最大装载量与B 型车厢的乙种货物最大装载量的和不少于880吨.【解】 (1) ∵ 用A 型车厢x 节,则B 型车厢为(40-x )节,得.322.0)40(8.06.0+-=-+=x x x y(2) 依题意,得 ()x x -+402535≥,1240()x x -+403515≥.880解之,得 24≤x ≤.26∵ x 取整数， ∴ 24=x 或25或26.∴ 共有三种方案:① 24节A 型车厢和16节B 型车厢;② 25节A 型车厢和15节B 型车厢;③ 26节A 型车厢和14节B 型车厢.(3) 当24=x 时,2.27=y 万元;当25=x 时,27=y 万元;当26=x 时,8.26=y 万元;故安排方案③,即A 型车厢26节,B 型车厢14节最省,最省费用为万元.【说明】目前中考越来越注重能力的考查.本题是一道实际生活中的“方案设计问题”，要善于把这类问题转化，抽象为数学问题加以解决.例2. 某市大蒜在国内、国际市场享有盛誉.某运输公司计划用10辆汽车将甲、乙、丙三种规格大蒜共100t 运输到外地.按规定每辆车只能装同一种大蒜,且必须满载,每种大蒜不少于一车.(1)设用x 辆车装运甲种大蒜,用y 辆车装运乙种大蒜,根据下表提供的信息,求y 与x 之间的函数关系式,并求自变量x 的取值范围.(2)设此次运输公司的利润为M (单位:百元),求M 与x 的函数关系式及最大大蒜不少于一车.由题意可以列出方程和不等式.题(2)中运输公司的利润M 是甲、乙、丙三种大蒜的利润总和.【解】(1)∵用x 辆车装运甲种大蒜,用y 辆车装运乙种大蒜，∴装运丙种大蒜的车辆为(10―x ―y )辆.根据题意，得 10(11108++y x ―x ―)y ＝100，化简，得 y ＝－x 3＋10.∵每种大蒜不少于一车， ∴ 103+-x ≥1，x ≥1. 解之得 1≤x ≤3.(2) 根据题意，得 M ＝x 82.2⋅＋y 101.2⋅＋10(112⋅―x ―y )＝x 6.17＋21(－10(22)103++x －x x 3+－)10＝－.2104.1+x∵=k －,04.1<∴M 随x 的增大而减小.又∵1≤x ≤,3∴当x ＝1时M 有最大值.∴M 最大＝－210+4.1＝6.208（百元）此时相应的车辆分配方案为：用1辆车装运甲种大蒜, 用7辆车装运乙种大蒜, 用2辆车装运丙种大蒜.【说明】不等式的运用常常与方程（组）、函数的知识相结合，当不等式作为隐含条件使用的时候，更能反映学生全面思考问题的能力.例3. 我国东南沿海某地的风力资源丰富,一年内日平均风速不小于3m/s的时间共约160天,其中日平均风速不小于6m/s的时间约占60天.为了充分利用风能这种“绿色能源”,该地拟建一个小型风力发电场,决定选用A、B两种型号的风力发电机.根据产品说明,这两种风力发电机在各种风速下的日发电量((1)若这个发电场购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为hkW⋅；(2)已知A型风力发电机每台万元,B型风力发电机每台万元.该发电场拟购置风力发电机共10台,希望购置的费用不超过万元,而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000hkW⋅,请你提供符合条件的购机方案.【分析】审题的关键在于将文字与表格中的符号对应起来,如一台A型发电机一年有60d的日发电量≥150hkW⋅,则可kW⋅,有100d的日发电量≥36h求出一台A型发电机的年发电量(最小值).题(2)要求提出符合条件的购机方案,因此,只要是符合要求的方案均可,实际上购机方案可能不止一套.【解】(1)12600x(2)设购A型发电机x台，则购B型发电机10(－)x台.根据题意，得()x3.0≤,6.22.+10x-()x12600≥.x-7800+10102000解之得：5≤x≤.6∴可购A型发电机5台，则购B型发电机5台；或购A型发电机6台，则购B型发电机4台.一分配问题1.把若干颗花生分给若干只猴子。

如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。

问猴子有多少只，花生有多少颗2.把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。

问这些书有多少本学生有多少人3.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。

4.将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。

问有笼多少个有鸡多少只5.用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。

请问：有多少辆汽车6.一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。

⑴果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：⑵能有多少间宿舍、多少名学生你得到几个解它符合题意吗二速度、时间问题1 爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长2.王凯家到学校千米，现在需要在18分钟内走完这段路。