专题3 巧用根与系数关系解题知识解读根与系数的关系是一元二次方程的重要基础知识，更是解决数学中考及竞赛中有关根的性质、方程参变量的范围及有关代数式的值等问题的重要公式．有时要将表面上好像不是一元二次方程的问题，转化为一元二次方程，进而用判别式及根与系数的关系去研究．1如果一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根是1x 、2x ，那么12b x x a +=- ，12cx x a ⋅=；反之，如果实数1x 、2x 满足12b x x a +=- ，12c x x a ⋅=，那么1x 、2x 是一元二次方程20b cx x a a++=的两个根．数学家韦达最早发现根与系数之间的关系，因此，习惯上也将这一关系称为“韦达定理”．2．一元二次方程根与系数关系在解题中有着广泛的应用，如①验根，不解方程，利用一元二次方程根与系数关系可以验证两个根是不是一元二次方程的两根；②由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数；③不解方程，可以利用一元二次方程根与系数的关系求关于1x 、2x 的对称式的值，如2212x x +，1211x x +等；④已知两数的和与积，求这两个数；⑤已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母的值；⑥解决其他问题，如讨论根的取值范围，判定三角形的形状等；⑦根的符号的讨论． 3．一元二次方程根的符号讨论：（）有两个正数根，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩：；（）有两个负数根，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=<⎪⎩；（3）有两个异号根，且正根绝对值大，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆>⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=<⎪⎩；（4）有两个异号根，且负根绝对值大，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆>⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=<⎪⎩；（5）有一根为0，必有0c a=．若另一根为正，则0b a ->；若另一根为负，则0ba -<．培优学案典例示范例1 方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q ⋅=．请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x 的方程()200x mx n n ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a ，b 满足21550a a --=，21550b b --=，求a bb a+的值； （3）已知a ，b ，c 满足0a b c ++=，16abc =，求正数c 的最小值．【提示】设1x ，2x 为实数，若12x x a +=，12x x b ⋅=，以1x ，2x 为根的一元二次方程为20x ax b -+=，解题的关键是构造方程． 【解答】 跟踪训练1．若关于x 的方程20ax bx c ++=有两个非零实数根1x ，2x ，求以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程． 【提示】只需求出221211x x +和221211x x ⋅的值． 【解答】2．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【提示】由于两个方程的结构相同，所以可把a ，b 看作是一元二次方程213x x +=的两个根． 例2：已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()222150x m x m -+++=的两个实数根．若()()121128x x --=，求m 的值．【提示】若代数式是关于x 的一元二次方程两根1x ，2x 的对称式，则可通过变形将所求代数式用12x x +、12x x ⋅表示求解．在实数范围内，利用根与系数关系解题，千万别忘了判别式0∆≥！【解答】 跟踪训练1．关于x 的方程()222110x m x m --+-=的两实数根为1x ，2x ，且22123x x +=，求m 的值． 【提示】先把2212x x +变形为()212122x x x x +-，根据根与系数的关系，可得关于m 的一元二次方程，求得m 的值，再根据判别式求得m 的取值范围，进而确定m 的值． 【解答】2．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程()2231210x a x a +-+-=的两个实数根，使得()()12123380x x x x --=-成立．求实数a 的所有可能值．【提示】将原式变形为()2121231680x x x x +-=-． 【解答】例3 设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程()2222330x m x m m +-+-+=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）若12111x x +=，求132m -的值； （2）求2121211mx mx m x x +---的最大值．【提示】本题考查了一元二次方程根与系数的关系与二次函数最大值的综合问题，解题的关键是把代数式转化为用12x x +与12x x ⋅表示的形式． 【解答】 跟踪训练若关于x 的方程222320x mx m m +++-=有两个实数根1x ，2x ，求()21212x x x x ++的最小值．【提示】根据题意，可求出122x x m +=-，21232x x m m ⋅=+-，然后将所求代数式化简并整理成根与系数的关系式，最后带入即可．但必须要考虑m 的取值范围． 【解答】例4 已知βα，是方程0132=-+x x 的两个根，求βαα-+22的值.【提示】关于一元二次方程两个根的非对称式的求值问题，关键在于能否转化为对称式或已知式.在这种思想的指导下，我们就能发现几种新颖独特又行之有效的转化方法.技巧1：降次转化.“降次”是一种常用的数学思想方法，该问题所求的式子是二次多项式，可以设法其“降次”为“一次”或“零次”，就能找到解决问题的思路.易知αα312-=，所以原式()4311=+=+-=βα.技巧2：升次转化.升次转化相对于降次是一种逆向思维的表现形式，它常常不被人们所重视，但在解决问题时常能另辟蹊径.易求31,3122ββαα-=-=，所以原式()()()43123131123222222=+++=++=---+=αββαβαβαα.技巧3：换元转化.利用换元法也能将非对称式转化为对称式，以下给出两种换元方法： （1）和差换元：设n m n m -=+=βα,，由3-=+βα，得32-=m ，即23-=m ，又122-=-=n m αβ，故4132=n . （2）对偶换元：设αβββαα-+=-+=2222B A ，，则有()822=++-+=+βααββαB A ，()()03--=++=βαβαB A .两式相加，得82=A ，所以422=-+βαα.技巧4：常值代换.常值代换相对于一般换元法也是一种逆向思维方式，一般换元法思路较为明显，常值代换则需要对数和式进行深层次观察和分析，但常常能够更快地达到目的.易得312+=α，所以原式()43332222=++=+-+=ααβαααα.技巧5：拆项转化.拆项转化就是围绕“将未知式转化为已知式或对称式”这个目标，将未知式中的某些项拆分成两项或更多项，达到转化目的.拆项方法比较灵活，一般有多重拆法，下面给出两种拆法：（1）()413222=+-=--+=-+βαβαααβαα.（2）()()()()432313231322222=-⨯++-=-++-=-++=-+βαββααββααβαα.技巧6：减元转化.消元作为一种数学思想，不仅能够用于解方程组，而且在数学其他方面也有着广泛的应用.例如，非对称式通过消元（减少参与运算的字母个数）转化为对称式或已知式，下面给出几种转化方法：（1）由题意，得()βββα--=-=+33，.所以原式()4333222=++=---+=ααααα.（2）由题意，得αβαβ11=-=，.所以原式()431131222=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=++=ααααααα.（因为0132=-+αα，所以31-=-αα）总之，求两根非对称式值的四路是灵活多样的，这诸多的思路都体现了“利用条件把非对称式转化为对称式或已知式”的共性.抓住了这个共性，我们在解决求两根非对称式值的问题时，就会有新的发现。

【解答】跟踪训练已知βα，是方程0872=+-x x 的两个根，且βα>，试求232βα+的值.【提示】对于根与系数的关系，我们习惯使用的是关于两根的对称式，，这个题目并没有出现对称式，因此我们加上一个和题目要求的结论相对的一个式子，通过两式的加减来组成我们所要的对称式.【解答】例5 当m 为何值时，一元二次方程0152=-+-m x x 的两根大于2？【提示】思路1：方程有两根都大于2的条件是0≥∆，()()()()022*******>-->-+-x x x x ，，由此得到关于m 的不等式组，解得5421-<≤-m ；对于一元二次方程根的分布问题，一般由韦达定理和根的判别式得到一个不等式组，然后解不等式组即可.思路2：原方程两根都大于2，相对于抛物线m x x y -+-=152与x 轴有交点，且交点都在点（2,0）的右侧（如图3-1），所以()⎪⎩⎪⎨⎧>-+⨯->=-=≥--=∆,02252,2252014252m a b x m 对称轴 ∴5421-<≤-m .本题既可以从代数的角度求解，也可以利用二次函数的图像分析，两种思路所得到的不等式组本质上是一样的，不过利用图象去分析更想象直观，便于理解.【解答】跟踪训练是否存在这样的实数k ，使得关于x 的方程()()023122=+-++k x k x 有两个实数根，且两根都在2与4之间？若有，试确定k 的取值范围；若没有，简述理由.【提示】设()()()23122+-++=k x k x x f ，则其图象为开口向上的抛物线.根据题意，若方程有两个实数根，且两根都在2与4之间，则抛物线与x 轴应有两个交点或一个交点，且交点都在2与4之间（如图3-2）.符合条件的k 值应满足下列条件：()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--=-<>+--+=>+---=≥++-=∆.421222,023124164,023122420234122k a b k k f k k f k k ，解这个不等式组即可. 【解答】例6 已知a ，b ，c 是△ABC 三边的长，b ＞a =c ，则方程022=+-c bx ax 的两根的差的绝对值等于2，求△ABC 中最大角的函数.【提示】利用一元二次方程根与系数的关系及两根差的绝对值为2的已知条件可探索出a ，b 之间的关系，再利用等腰三角形的性质和锐角三角函数求出顶角的大小，从而解决问题.【解答】跟踪训练1.已知关于x 的方程()()0012≥=+++-n m x n m x 的两个实数根为βα，.且βα≤（1）试用含有βα，的代数式表示m 和n . （2）求证：βα≤≤1；（3）若点P （α，β）在△ABC 的三条边上运动，且△ABC 顶点的坐标分别为A （1,2），B （），C （1,1），问是否存在点P ，使45=+n m ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【提示】（1）由根与系数关系直接得到结论； （2）将()()βα--11变形为()αββα++-1； （3）要使45=+n m 成立，只需491=++=+n m βα，然后分三种情况讨论； ①当点P （α，β）在BC 边上运动时，②当点P （α，β）在AC 边上运动时， ③当点P （α，β）在AB 边上运动时. 【解答】2.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如点（-1,1），（0,0），（，）……都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个.（1）若点P （2，m ）是反比例函数()0≠=n xny 的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式； （2）函数13-+=s kx y （k ，s 是常数）图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若二次函数12++=bx ax y （a ，b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”()()2211,,,y x B y x A 且满足2,22211=-<<-x x x ，令4815722+-=b b t ，试求t 的取值范围. 【提示】（1）由“梦之点”的定义，求出P 点坐标，代入反比例函数即可； （2）可假设存在“梦之点”，设出它的坐标并代入函数式，在求该坐标的过程中，通过对常数k ，s 的取值进行分类讨论，从而确定“梦之点”存在性；（3）利用“梦之点”两坐标相等的特点，把问题转化为一元二次方程的问题，利用一元二次方程根与系数的关系，求出a ，b 关系式；再利用21,x x 取值情况求出a ，b 取值范围；最后利用二次函数的增减性求t 的取值范围. 【解答】例7 （全国初中数学联赛初赛）已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，求t 的取值范围.【提示】用含t 的式子表示出ab 和a +b ，构成一元二次方程求解. 【解答】跟踪训练（全国初中数学联赛决赛）已知实数a ，b 满足()()()81,402122=++=+++b b a a b b b a ，求2211b a +的值.【提示】由已知条件可得()()8,40222=++=++b a ab b a b a .设y ab x b a ==+,，则有8,4022=+=+y x y x ，联立解得6,2==y x 或2,6==y x .构造以a ，b 为实数根的一元二次方程求解.【解答】培优训练直击中考 1.☆已知函数xy 1=的图象在第一象限的一支曲线上有点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 的两根21,x x 判断正确的是（）A.0,12121>⋅>+x x x xB.0,02121>⋅<+x x x xC.0,12121>⋅<+x x x xD.2121x x x x ⋅+与 的符号都不确定2.★方程012222=+-++k k kx x 的两个实数根1x ，2x 满足42221=+x x ，则k 的值为 3.★★已知关于x 的一元二次方程011222=-+++m x m x ）（. （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足2122116x x x x -=-）（，求实数m 的值.挑战竞赛1.★太如图3－3，已知直线y ＝－x ＋2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与双曲线xky =交于E ，F 两点.若AB ＝2EF ，则k 的值是（ ）xy 图3-3ABEFOA .－1B .1C .21 D .43 2.★★（全国初中数学联赛）已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，求）（）（1122-⋅-b a 的最小值.3.★太★（数学周报杯竞赛题）已知a ，b 为正整数，关于x 的方程022=+-b ax x 的两个实数根为1x ，2x ，关于y 的方程022=++b ay y 的两个实数根为1y ，2y ，且满足20082211=⋅-⋅y x y x .求b 的最小值.。