中考数学一元二次方程根与系数的关系
精选例题解析
知识考点：
掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。

精典例题：
【例1】关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。

分析：设另一根为1x ，由根与系数的关系可建立关于1x 和k 的方程组，解之即得。

答案：
2
5
，－1 【例2】1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）2
22
1x x + （2）21x x - （3）22
22
133x x x -+
略解：（1）2
221x x +＝212212)(x x x x -+＝417
（2）21x x -＝212214)(x x x x -+＝2
1
3
（3）原式＝)32()(22
22221x x x x -++＝5417
+＝4
112 【例3】已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。

分析：有实数根，则△≥0，且16212
22
1+=+x x x x ，联立解得m 的值。

略解：依题意有：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥--+=∆+=+-=+-=+0)5(4)2(416
5)2(222212
22122
121m m x x x x m x x m x x 由①②③解得：1-=m 或15-=m ，又由④可知m ≥4
9
- ∴15-=m 舍去，故1-=m 探索与创新：
【问题一】已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。

略解：由1632+-=∆m ≥0得m ≤
2
1。

121+-=+m x x ，22141
m x x =≥0
∴1x 与2x 可能同号，分两种情况讨论：
（1）若1x ＞0，2x ＞0，则⎩⎨⎧>>+00
2
121x x x x ，解得m ＜1且m ≠0
∴m ≤
2
1
且m ≠0 （2）若1x ＜0，2x ＜0，则⎩⎨⎧><+0
02121x x x x ，解得m ＞1与m ≤21
相矛盾
综上所述：当m ≤
2
1
且m ≠0时，方程的两根同号。

【问题二】已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。

（1）是否存在实数k ，使2
3
)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的
值；若不存在，请说明理由。

（2）求使
21
2
21-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。

略解：（1）由k ≠0和△≥0⇒k ＜0 ∵121=+x x ，k
k x x 41
21+=
∴2122121219)(2)2)(2(x x x x x x x x -+=-- 2
3
49-=+-=k k ∴5
9
=
k ，而k ＜0 ∴不存在。

（2）21221-+x x x x ＝4)(2
1221-+x x x x ＝14+-
k ，要使14
+-k 的值为整数，而k 为整数，1+k 只能取±1、±2、±4，又k ＜0
∴存在整数k 的值为－2、－3、－5
跟踪训练： 一、填空题：
1、设1x 、2x 是方程0242=+-x x 的两根，则①
2
11
1x x +
＝ ；②21x x - ＝ ；③)1)(1(21++x x ＝ 。

2、以方程0422=--x x 的两根的倒数为根的一元二次方程
是 。

3、已知方程0452=+-mx x 的两实根差的平方为144，则m ＝ 。

4、已知方程032=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值
是 。

5、反比例函数x
k
y =
的图象经过点P （a 、b ），其中a 、b 是一元二次方程042=++kx x 的两根，那么点P 的坐标是 。

6、已知1x 、2x 是方程0132=+-x x 的两根，则1112422
1++x x 的值为 。

二、选择题：
1、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±1
2、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =⎪⎭⎫
⎝⎛2
2，则方程的两根之比
为（ ）
A 、0∶1
B 、1∶1
C 、1∶2
D 、2∶3 3、已知两圆的半径恰为方程02522=+-x x 的两根，圆心距为3，则这两个圆的外公切线有（ ）
A 、0条
B 、1条
C 、2条
D 、3条
4、已知，在△ABC 中，∠C ＝900，斜边长2
1
7，两直角边的长分别是关于x 的方
程：09)21
(32=++-m x m x 的两个根，则△ABC 的内切圆面积是（ ）
A 、π4
B 、π23
C 、π47
D 、π4
9
5、菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程：03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为（ ）
A 、－3
B 、5
C 、5或－3
D 、－5
或3 三、解答题：
1、证明：方程0199719972=+-x x 无整数根。

2、已知关于x 的方程032=++a x x 的两个实数根的倒数和等于3，关于x 的方程023)1(2=-+-a x x k 有实根，且k 为正整数，求代数式
2
1
--k k 的值。

3、已知关于x 的方程03)21(22=-+--a x a x ……①有两个不相等的实数根，且关于x 的方程01222=-+--a x x ……②没有实数根，问：a 取什么整数时，方程①有整数解？
4、已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x （1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。

5、已知关于x 的方程01)12(2=-+-+k x k kx 只有整数根，且关于y 的一元二次方程03)1(2=+--m y y k 的两个实数根为1y 、2y 。

（1）当k 为整数时，确定k 的值。

（2）在（1）的条件下，若m ＝2，求2
22
1y y +的值。

6、已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实根，问：1x 、2x 能否同号？若能同号，请求出相应m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。

参考答案
一、填空题：
1、①2；②22；③7；
2、0242=-+x x ；
3、±18；
4、2，2；
5、（－2，－2）
6、43； 二、选择题：ABCDA 三、解答题：
1、略证：假设原方程有整数根，由⎩⎨⎧==+19971997
2
121x x x x 可得1x 、2x 均为整数根，
∵199721=x x ∴1x 、2x 均为奇数
但21x x +应为偶数，这与199721=+x x 相矛盾。

2、1=k ，02
1
=--k k 3、3=a
4、（1）2->m ；（2）1=m
5、（1）k ＝0，－1；（2）当k ＝0时，132
221=+y y ；当1-=k 时，4
172
22
1=
+y y 6、能同号，m ≤2
1
且m ≠0。