一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【重点、难点、考点】重点：①判定一元二次方程根的情况，会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。

②掌握根与系数的关系及应用难点：由判别式，根与系数的关系求字母的取值范围，或与根有关的代数式的值。

考点：中考命题的重点和热点，既可单独成题，又可与二次函数综合运用，是初中代数的重要内容之一。

【经典范例引路】例1 若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A.m<43B.m ≤43C.m>43且m ≠2 D.m ≥43且m ≠2（2001年山西省中考试题）【解题技巧点拨】 解 C①解答此题时，学生虽然能运用判别式定理，但往往忽略“方程ax 2＋bx ＋c ＝0 作为一元二次方程时 a ≠0”的情形解题原理：对方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0）方程有两实根Δ方程有两相等实根Δ方程有两不等实根Δ⇔≥⎭⎬⎫⇔=⇔>000Δ<0⇔方程没有实根注意：学生在运用时，可能会由“方程有两实根”得出“Δ>0” 题型：①判定方程根的情况或判断简单的二元二次方程组是否有解，②证明一元二次方程有无实根，③求待定系数的值或取值范围，④根与系数的关系综合运用。

例2 先阅读下列第（1）题的解答过程（1）已知αβ是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。

求α2＋3β2＋4β的值。

解法1 ∵α、β是方程x2＋2x－7＝0的两实数根∴α2＋2α－7＝0 β2＋2β－7＝0 且α＋β＝－2∴α2＝7－2αβ2＝7－2β∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3（7－2β）＋4β＝28－2（α＋β）＝28－2×（－2）＝32解法2 由求根公式得α＝－1＋22β＝－1－22∴α2＋3β2＋4β＝（－1＋22）2＋3(－1－22)2＋4(－1－22)＝9－42＋3(9＋42－4－82)＝32解法3 由已知得：α＋β＝－2 αβ＝－7∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18 令α2＋3β2＋4β＝A β2＋3α2＋4α＝B∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4×18＋4×（－2）＝64 ①A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α) (β－α)＋4(β－α)＝0 ②①＋②得：2A＝64 ∴A＝32请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题（2）已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。

x13＋7x22＋3x2－66的值。

解∵x1、x2是方程x2－x－9＝0的两根∴x1＋x2＝1 且x12－x1－9＝0 x22－x2－9＝0即 x12＝x1＋9 x22＝x2＋9∴x13＋7x22＋3x2－66＝x1(x1＋9)＋7(x2＋9)＋3x2－66＝x12＋9x1＋10x2－3＝x1＋9＋9x1＋10x2－3＝10(x1＋x2)＋6＝16【同步达纲练习】一、填空题1.如果关于x 的方程2x 2－（4k ＋1）x ＋2k 2－1＝0有两个不相等的实根，那么k 的取值范围是 。

2.若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有实数根，则k 的取值范围是。

3.如果m 为实数，方程x 2－mx ＋21m 2＋m ＋23＝0的根的情况是。

4.设x 1、x 2是方程2x 2－3x ＋m ＝0的两根且8x 1－2x 2＝7，则m 的值是。

5.已知实数a 、b 满足a 2－7a ＋2＝0 b 2－7b ＋2＝0 则a b＋b a＝。

二、选择题6.关于x 的方程3x 2－2x ＋k －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A.k<34B.k<34且k ≠1 C.k ≤34D.k>347.已知方程组⎩⎨⎧=+-=-0302k y x y x 无解，那么k 的取值范围是（ ）A.k>49B.k<49C.k<－49D.k>－498.以一元二次方程x 2＋2x －3＝0的两根之和与两根之积为根的一元二次方程是（ ）A.y 2＋5y －6＝0 B. y 2＋5y ＋6＝0C. y 2－5y ＋6＝0 D. y 2－5y －6＝09.若α、β是方程x 2－3x －5＝0的两根，则α2＋2β2－3β的值是（ ） A.21 B.24 C.27D.2910.甲、乙两同学在解方程x 2＋px ＋q ＝0时，甲看错了一次项系数得两根为2，7，乙看错了常数项，得两根为1，－10，则原方程是（ ）A. x 2－9x ＋14＝0B. x 2＋9x －10＝0C. x 2－9x ＋10＝0D. x 2＋9x ＋14＝0三、解答题11.已知关于x 的方程4x 2＋4bx ＋7b ＝0有两个相等的实数根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2＋(2－b)y ＋4＝0的两个根。

求以1y 、2y 为根的一元二次方程。

12.已知关于x 的方程x 2－42+k x ＋k ＝0有两个不相等的实数根。

（1）求k 的取值范围（2）化简|－k －2|＋442+-k k13.已知关于x 的方程（a 2－1）x 2＋2(a ＋2)x ＋1＝0有实数根。

求a 的取值范围。

（提示：分a 2－1＝0，a 2－1≠0讨论）14.已知关于x 的方程x 2－2(k ＋1)x ＋k 2＋2k －1＝0 ① （1）求证，对任意实数k 的方程①总有两个不相等的实数根。

（2）如果a 是关于y 的方程y 2－(x 1＋x 2－2k)y ＋(x 1－k)(x 2－k)＝0 ②的根。

其中x 1、x 2是方程①的两根 求代数式（a 1－1+a a）÷14+a ·aa 12-的值。

15.已知方程2x 2－2ax ＋21(a ＋4)a ＝0的两实根分别为x 1、x 2且满足(x 1－1)(x 2－1)＝100109，求a 的值。

16.关于x 的方程x 2－(5k ＋1)x ＋k 2－2＝0是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于4，若存在，求出满足条件的k 的值，若不存在，请说明理由。

17.设α、β是方程x 2＋10x ＋2＝0的两根，不解方程，求βα＋αβ的值。

18.已知关于x 的方程k 2x 2＋(2k －1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2。

（1）求k 的取值范围。

（2）是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在求出k 的值。

如果不存在，请说明理由。

解：（1）根据题意，得Δ＝(2k －1)2－4k 2>0的解得k<41.∴当k<41时，方程有两个不相等的实数根。

（2）存在 如果方程的两实数根x 1、x 2互为相反数，则x 1＋x 2＝－212kk -＝0 ①解得k ＝21,经检验k ＝21是方程①的解。

∴当k ＝21时，方程的两实数根x 1、x 2互为相反数。

读了上面的解答过程，请判断是否错误，如果有指出错误之处，并直接写出正确答案。

19.如图已知△ABC 中，∠ACB ＝90°,CD ⊥AB 于D ，若AD 、BD 的长是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，且tgA －tgB ＝2，CD ＝1，求p 、q 的值，并解此二次方程。

20.设方程x 2－x －1＝0的两根为α、β，不解方程，求a 4＋3β的值21.关于x 的方程x 2－(2a －1)x ＋(a －3)＝0.（1）求证：无论a 为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根。

（2）以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为235，求实数a 的值。

22.已知方程5a 2＋2002a ＋9＝0及9b 2＋2002b ＋5＝0且ab ≠1，求b a的值。

23.已在△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋3)x ＋k 2＋3k ＋2＝0的两个实数根，第三边BC 的长为5。

（1）k 为何值时，△ABC 是以BD 为斜边的直角三角形。

（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长。

参考答案【同步达纲练习】1.k>－892.k ≥－1且k ≠03.无实根4.m ＝15.245或 2 6.A 7.C8.B 9.B 10.D 11.x 2－3x ＋2＝0 12.－2<k<2,4 13.a ≥－4514.－2115.－ 5316.k ＝－1 17.5 18.有错误k<41且k ≠0 x 1＋x 2＝－212kk ＝0k ＝21>41∴k 不存在 19.x 2－22＋1＝0 20.5 21.Δ＝4(a －1)2＋9>0 a＝2722.5 23.①k ＝2 ②k ＝3或4。